大家好，我是@狂人先生，今天我为你简单分享一下关于概率论的话题。

提到概率论，我们首先想到的就是赌博。这个没错，因为概率论就是起源于赌博的。比如说，在赌场买大小，拼的就是概率；很多人喜欢买彩票，也是拼的概率，只不过是概率的大小而已。我们会发现一个规律，赌场只要一直经营着，他们就一定能赚钱，而作为客人去玩，不论你赢了多少，多半都是输的，这是为什么呢？因为个人拼的就是偶然性，一次两次的输赢，而赌场拼的就是概率，经过长期的计算，肯定是赢的。

在分享之前，我们先谈一个经典的话题：有两个学渣，水平不相上下，渣A是倒数第一，而渣B是倒数第二。下一周要考试了，渣A跟渣B说，“我们俩都是学渣，同是天涯沦落人，考试的时候多多关照啊？”渣B说：“怎么关照你呢？”渣A说：“考试的时候，你借试卷给我抄一下。”我都是学渣了，居然还有人看得上我的试卷？虽然我是倒数第二 ，但还是有一个人比我更差呢。渣B心想，于是就开心地答应了。过了几天，考试结果出来了，各位猜猜是什么样的情况？这回渣B变成了倒数第一，而渣A虽然没有名列前茅，却变成了班级的中等水平，老师都对渣A惊叹不已。

渣B很不服气，找老师对质，说：“你明明就是在歧视我！渣A是作弊的，他抄我的试卷，为什么他的分数比我高？”老师说：“有过这样的事吗？不对啊，渣A没有抄你的答案啊，而且他的答案对了，的确是凭实力做对的啊。”各位知道，是什么情况吗？既然渣A没有抄渣B的答案，那要他的试卷干啥呢？原来，这次考试都是选择题，四选一的答案。渣A看了渣B的答案以后，就果断避开了他所选择的答案，而在另外三个选项中蒙，总会给他蒙对一部分，而且恰巧蒙对的比渣B写的答案要多，所以成绩当然比他好啊。这有点难理解，比如说，一道题渣B选择的了C，那渣A就不选C，而是在ABD之中蒙一个。

概率论解决的就是“随机性”的问题，很多人都以为，随机性就等于不确定性，真的是如此吗？这两者共同点，就是我们无法得出准确的结论；但是也有区别，随机性就是若干个选项中，出现哪一个选项，这点不确定；而“不确定性”就是连有多少选项我们都不知道。这么说就比较容易懂了，“随机性”就是选择题，而“不确定性”就是填空题。我刚刚学完得到的课程《概率论22讲》，受益匪浅，下面给大家分享一下我的收获。

1 数学期望：面对未知，我该怎么做决定

澳门赌王何鸿燊曾经说过：“对于赌博的套路，我一窍不通；但是，我开的赌场却从来没有输过。”为什么会这样呢？我们先不考虑人的心理，就从概率这里分析，单个人无论是输赢，都只是单次事件而已；而赌场是专门做这个生意，需要长期跟客人博弈的。从长期来看，输赢的概率都无限趋向于一个常数，至于赌局的设计，都是有专人经算过的。作为个人，你如果玩几局，输赢一两次都是很正常，赌场输给你一两次也很正常，但按照总量来算，是必赢的，要不然早就开不下去了。

我们做决定的时候，很多时候都是通过抛硬币的方式。但是，如果你抛了5次硬币，都是正面朝上，那么，第6次出现反面的概率是多少？概率论告诉我们，同样都是50%，因为前面的5次已经发生了，不会影响后续的概率。有的人会认为，往后是不是会报复性地反弹，出现反面的机会增多呢？这可不一定！也许，再抛100次以后，才会正反各50次，这是正面是55，反面是50，这样就接近于一半概率了；再抛1000次，就变成了1050：1000，比原来更加接近了。所以说，未必需要任何补偿，但也会无限接近于平均值。这就好比，我们把一颗糖丢进一杯水，就会很甜，但丢到浴缸里，浴缸的水并没有任何甜味。

这说明了，个别的异常，只有样本小的时候才会有影响，而大范围内影响并不明显。俗话说“三十年河东，三十年河西”有没有道理呢？按照概率论的说法，三十年河东，后面的三十年可能是河西，但也未必立刻见效。如果再拿一两百年来对比，那么“河西河东”就会接近于一半一半了。

我们常说“不能奢望靠买彩票发家”，为什么呢？简单分析一下，假设有1000万张彩票，每张售价1块钱，其中有一张中奖，奖金600万。该不该买呢？先计算一下数学期望。中奖的概率是1000万分之1，不中奖的概率是（1-1/1000万），直接抛数学期望公式：

600万*（1/1000万）-1*（1/1000万）= -0.4元

长期来看，每买一张彩票，就亏0.4元，所以当然不应该买。还要不要买彩票呢？自己好好琢磨。

计算数学期望，可以替我们做决定，但还远远不够。比如说，你有一笔闲钱，现在有两个投资方案供你选择：

方案一，收益非常稳定，100%净赚5万元；

方案二，收益不稳定，50%的机会赚20万元，另外50%的可能性是赔10万元。

你该怎么选择呢？我们算一下数学期望，第一个方案的数学期望 是5万*100%=5万；第二个方案的数学期望是20万*50%-10万*50%=5万。两个方案的数学期望都是一样的哦，但是更多人都是偏好第一个，你是不是也偏好第一个呢？这要说明的是，除了数学期望，还有另外一个值要考虑的，就是“方差”。我们选择第一个方案，因为结果很稳定，完全没有波动，而第二个方案，虽然数学期望跟前面的一样，但因为波动太大了，并不是所有人都可以接受这个风险的。

我身边有不少做金融、投资的人，他们都自认为是理财高手，能够躺赚多少钱。遗憾的是，现在很多的“资金盘”只告诉你收益率有多高，而从来不会告诉你，它们可能会跑路，你看到的数学期望，以为是100%稳赚不赔，而实际情况是，只有5%的概率是赚大钱，而有95%的概率是跑路。算一下数学期望，足以让你怀疑人生。你看中人家的利息，人家看中的是你的本金。

2 正态分布与幂律分布

每一个随机事件都有自己的概率分布。随机事件不同，概率分布自然也不相同。但经过不断的研究，数学家们逐渐发现，概率分布是有规律可循的。比如人的身高和智商，看起来毫不相关，但它们的分布情况挺相似的，都是正常水平的比较多，而特别高和特别低的非常少。

在我们电脑开机的时候，都会看到一条信息，“你的电脑开机一共用了11秒，超过了99%的电脑”。很好奇，到底这个数据怎么得来的呢，有没有可能后台监测，把每一台电脑开机时间逐个统计，然后排名呢？我相信大多数人都会这么想。而实际情况是，系统后台有一个算法，对开机时间做一个统计，比如说，大多数电脑开机的时间都是18秒，如果刚好是在18秒，那么开机时间就是在全国排名50%左右。其实，开机电脑排名，就是呈正态分布。

什么是“正态分布”，我们看起来这个名称有点“高大上”，其实一点都不复杂，说白了就是当下最常见的概率分布，我给各位展现一下正态分布的曲线图，就一目了然：

正态分布是中间大两边小。比如说，广州的男性平均身高175，那么大多数人都在175附近徘徊，所以中间大；会不会出现特别矮的，比如149，这是有可能的，但不多，属于左边的极端情况；有没有特别高的，比如190，当然有，就属于右边的区域。所以，计算排名，并不需要把每个人都拉出来排队，用到正态分布的百分比，就基本上能确定下来了。

比身高可以，但要对比收入，用正态分布就未必恰当了。比如说，绍兴这边打工人的月收入是7000元，你找10个层次差不多的打工人出来吃饭，这个数据的确没问题；但是，来了一个KTV的公主也参加这场饭局，她工资有5万，然后跟另外10个人“平均一下”，就得出“打工人的平均收入11000元”这10个人感慨——我们被“平均”了！拿个人收入来说，有一贫如洗的穷人，也有挥金如土的富豪，把这两群人的资产平均，完全没有意义。

小布什总统就曾在竞选演说中玩过这个把戏。他说，2003年的减税计划让每个美国家庭平均少纳税1586美元。从数字上看，这句话没有撒谎，但它有很强的误导性。因为财富服从幂律分布，是高度不对称的。大部分普通家庭收入不高，减税的额度很有限；但小部分收入极高的家庭，可能会获得几万甚至几十万的减税额度，一下就把平均数拉高了。事实上，当年减税的中位数是650美元。也就是说，有一半的家庭连650美元都没达到，更别提1500多美元了。这就是幂律分布，随机变量波动的范围非常大，常用的平均值、标准差到这里都没用了。

我们细心留意幂律分布图，就会发现，它有一个长长的尾巴，也就是说，无论X坐标去到多远，Y发生的概率还是有的。跟正态分布不一样，它意味着，虽然说现在的商机已经被大多数的寡头垄断了，但只要“长尾”存在，一切皆有可能。因此，哪怕现在混得不太好，也不要气馁，因为只要有幂律分布的存在，总有逆袭的机会。

结语 学点概率思维，概率是可以改变的

前两年，我们买车上牌需要摇号，中签率只有5%，也就说100个人只有5个可以领到车牌。这时有的“中介”就看准了商机，跟车主说：“我们有内部关系，包你一定领到牌，只需要多收2万的跑腿费。如果三个月拿不到车牌，全额退款，再额外赔你800元！”看起来蛮吸引的吧，而且也不亏，退一万步来说，三个月下来如果拿不到车牌，还有得赚。诶，且慢，真的是有内部关系吗？这其实就是一个概率问题！

我们算一下，每个月能够拿到车牌的概率是5%，那么拿不到的概率就是95%，如果真的这么邪门，连续三个月都领不到车牌，概率是95%的三次方，等于0.8574。也就是说，有14%的概率，在这三个月之内，其中一个月就拿到车牌，这2万元就妥妥地稳赚了，另外86%的可能性，是赔给车主800元。算一算数学期望：

20000*0.14-800*0.86=2112元

所以说，中介做这个生意亏不亏？当然不亏，简直是暴利呢！所以说，有这个必要多花这个冤枉钱吗？所以，我们只要算一算概率，就不会被人套路了。

普通人在创业和工作，有没有机会逆袭？当然是有的。因为，概率并不是一成不变，而是可以改变的。如果你接受现实，每天都浑浑噩噩过日子，当然升职加薪的概率少之又少；但是，当你不断地提升自己的某项技能，并且做出一点成果来，你自身的条件就改变了，所以升职加薪的概率也提高很多。退一步来说，即使你在提升的同时，你的同事、竞争对手也在提升，相对速度太慢，没有显著的竞争优势，怎么办？也别急，我们可以拼耐力，把时间拉长，做时间的朋友，相信时间的力量，把竞争对手拖垮，做一个长期主义者。

关于概率论的内容，还有很多很多，但由于篇幅关系，很难一篇文章讲清楚，所以先就此打住，本月我会继续深入研究概率论，并且继续把我研究的成功，跟大家分享。如果有写得不准确的地方，敬请在留言区写下你的想法和建议。我是@狂人先生，希望我的分享能对你有所收获，我们下次见。