仁　慈

推荐一本关于数学的书很难。是的，对好不容易摆脱数学的绝大多数人来说，为什么要回过来读关于数学的书？

因为仁慈。

这个答案，听上去就像爱德华·弗伦克尔取的《爱与数学》这个书名一样不着边际。但爱与数学，从本质上来说，是相通的，那就是仁慈。

眼下的一场新冠肺炎疫情，让几乎所有人认识到，最可怕的是未知，并且这种未知时时笼罩在人们的头顶。

由此更让人深信，打破未知，就是最大的仁慈。数学恰恰就为人类铺筑了通往未知世界的幽辟小径——很少有人一直走下去，但正是这极少的人一步步把人类的认知触角向前延伸。弗伦克尔教授在书中使尽浑身解数深入浅出介绍朗兰兹纲领等现代数学前沿理论，就是为了让更多人对此有所领悟。

生于苏联的弗伦克尔教授是一位数学天才。大学本科还未毕业时，就利用对称群等现代数学理论在二维量子模型研究上取得突破性进展，被哈佛大学校长亲自邀请担任客座教授。当时，他在苏联还未拿到本科学位。

《爱与数学》展示了弗伦克尔娴熟的叙事技巧，他首先从普通人最熟悉的对称现象说起，讲述了发现夸克的一段“奇幻”经历。

爱德华·弗伦克尔（Edward Frenkel）

夸克是构成质子、中子和电子的基本粒子。这是物理学家默里·盖尔曼从意识流小说大师詹姆斯·乔伊斯的小说《芬尼根的守灵夜》中借用的一个词汇。20世纪五六十年代，人们普遍认为质子、中子及其他强子是不可再分的基本粒子，但盖尔曼等物理学家利用对称中的特殊酉群理论提出，强子是分别由包含三种夸克和三种反夸克组成基本粒子族构成的。尽管在当时，这只是在数学理论框架下完成的纯理论性预测，但很快科学家们就在实验中发现被命名为“夸克”的基本粒子真的存在，而且夸克真的带有一部分电量。

“数学这个强大的工具，帮助我们窥探到深藏于宇宙内部的奥秘，我们又怎么能不为之惊叹不已呢？”作者写道，“科学家确实需要日内瓦大型强子对撞机这样造价昂贵、结构复杂的机器，但是像爱因斯坦、盖尔曼这样的科学家，仅仅利用最为抽象而且几乎是纯理论性的数学知识，就揭开了我们这个世界埋藏得最深的秘密。这的确令人叹为观止。”

书中讲述了一则与爱因斯坦有关的趣事：美国威尔逊山天文台需要一架望远镜，借此来勾勒人们所处的时空。爱因斯坦的妻子艾尔莎听说这件事之后，说：“哦，我丈夫在旧信封的背面就可以完成这项工作。”

“我们所有人，无论信仰什么，都可以拥有这种知识。”作者写道，数学把我们凝聚在一起，为我们孜孜不倦地探索宇宙的热情赋予了新的含义。

这种含义就是无穷的可能，就是不断在未知中开垦出新的已知疆域。数学对大多人来说并非面目可亲，但她的仁慈就在于渡人过坎，让人们面对未知时并不那么束手无策。

时　空

用弗伦克尔的话来说，帮助他“登顶数学险峰”的是其在大学本科阶段就对n维空间的对称群理论进行了深入研究。

科幻小说《三体》的流行，让不少人对“降维打击”一词耳熟能详。但毋庸讳言，对大多数人来说，三维空间都是认知思维的极限。“想象四维空间，对于我们来说是一项艰巨的任务：我们无法把时间（第四维度）理解成与空间维度相同的另一个维度。”弗伦克尔在书中坦言。

《爱与数学》对高维空间的相关阐述引人入胜。书中介绍，在想象四维物体时，可以采用一种更有效的方法，即把四维物体想象成三维“切片”的组合。如果第四维度代表时间，那么四维“切片”就是一组组的照片。如果给正在运动中的人拍照，得到的就是四维物体的一个三维切片。连续拍摄几张照片，就会得到一组这样的三维切片。

20世纪初，艺术家们对这个想法兴趣甚浓。他们利用照片并置，在画作中加入了第四维度，使画面产生了动感，这方面的里程碑式作品是马塞尔·杜尚于1912年创作的《下楼梯的裸体女人，第2号》。

马塞尔·杜尚 《下楼梯的裸体女人 》

值得一提的是，这似乎是一个四维空间认知集体觉醒的时期。爱因斯坦在这一时期提出了相对论，证明空间和时间不可分割。亨利·庞加莱等数学家则正在深入钻研高维几何的奥秘，并逐步超越了欧几里得的几何学范畴。

“由此可见，是数学帮助艺术找到创新的突破口。艺术家借助数学知识，看到隐蔽性极高的新维度，他们深受启发，以摄人心魄的美学形式，表现出真实世界中蕴含的深邃真理。”作者不由感叹道，“数学是一门通用语言，适用于所有维度的空间。”

达尔文曾说过，数学赋予了我们“新的感官”。人类正是利用这种感官突破了对时空的认知极限。多少个世纪以来，物理学家一直以为我们生存的空间是一个平坦的三维空间。但是，这种理解是不正确的，是由我们对现实的狭隘认知造成的。而创立了黎氏几何的德国数学家黎曼则指出，弯曲空间是一种客观存在。

基于黎曼的认知突破，爱因斯坦提出了广义相对论，揭示了时空弯曲的根本原因在于万有引力。因此，我们生存的空间实际上是一个弯曲的三维流形。

在第17章“数学之美”中作者又进一步引入了弦论，这是高维数学理论对时空认知边界的最新扩展。

书中介绍，我们身处的这个世界也有可能是我们观察到的四维空间与一个极小的六维流形的乘积，只不过这个六维流形非常小，我们无法利用现有工具观测到它。在这个十维理论框架下有可能产生有效的四维理论来描述我们的宇宙，并且有可能成为囊括自然界所有已知作用力的统一理论。但问题在于，这个六维流形有着10^500种可能，我们这个宇宙究竟应该选择哪一种六维流形呢？又如何通过实验来验证呢？

人们期盼有一种一劳永逸的终极理论，但彼岸总是难以企及。尽管如此，向着彼岸进发的每一步都是对于未知世界激动人心的驯服。

2019年，自然科学领域最令人瞩目的成就当然是黑洞照片的发布。这个黑洞距离地球5500万光年。正是时空的弯曲，成就了人类这次里程碑式发现。

宇宙浩瀚无垠，不仅谓之广大，更缘于迄今未掌握穷尽其奥秘的认知工具。数学或许是人类手中唯一的一把钥匙，这不更是她的仁慈所在吗？

均　等

数学的仁慈更在于她给予人们的机会是均等的。

这是《爱与数学》致力揭示的要义。书的序言即引述伽利略“自然界的法则是用数学语言写就的”这一名言，指出数学是一种描述现实、揭示世界运行规律的语言，这种普适性语言已经成为检验真理的黄金标准。

作者写道，数学知识与其他学科知识都有所不同，它极为特殊。同一个数学公式或者定理的含义不会有任何不同，即便经历上千年也不会发生变化。同时，数学公式和定理是我们所有人的共同财产，任何人都不可以对它们申请专利。它并非那些“受过良好教育的少数人”的专利，而是人类的共同财产。

希腊哲学家柏拉图首先提出，数学中的一项项内容与我们的理性活动没有任何联系。因此，数学概念与数学思想栖身的这个世界，被称为“柏拉图数学世界”，这是一个平行于人类认知的客观世界。

“值得庆幸的是，我们深入了解柏拉图数学世界，并在生活中加以应用的进程是不可阻挡的，其中一个非常重要的原因就是数学的内在民主性。”弗伦克尔的关于数学内在民主性的论述令人难忘：对于物理世界和精神世界而言，不同的人在认知或解读其中的某些内容时可能会得出不同的结论，有的人甚至根本无法理解。但是，所有人对数学概念与方程式的认知都会得出相同的结论，而且数学给予人们的机会是均等的。没有人可以垄断数学知识，人们既不能宣布某个数学公式或数学思想是自己发明的，也不能为某个公式申请专利。原因在于，如果这个公式是正确的，那么它所表示的是宇宙的某个永恒真理，因此不可能私有化，只能由大家共享。

“无论贫富、肤色与年龄，谁也不能把它从我们手中夺走。”作者由衷赞叹，“在这个世界上再也没有其他任何事物能像数学那样深奥、典雅而又不属于某个人的了。”

过　坎

1984年，正在上高三的弗伦克尔决定报考莫斯科国立大学，因为这是莫斯科唯一一所设有纯理论数学专业的大学，实力在苏联首屈一指。

但因为是犹太人，他在考试中受尽各种刁难，未能如愿。“如果把这次考试比作拳击比赛，我就是在拳击台上被逼到角落的那位拳击手，血流满面，在对手暴风骤雨般的进攻下拼命挣扎，苟延残喘。”很多年后，这次考试仍让他心有余悸。

在最灰暗的日子里，是对数学的爱以及莫斯科大学具有良知的学者们帮他爬坡过坎，直到收到哈佛大学校长的亲笔信。

在他到美国的第二年，莫斯科大学校长洛古诺夫应邀到麻省理工大学发表演讲，这让弗伦克尔有了与他当面对质的机会。“我能够与‘罪魁祸首’当堂对质，并迫使他承认对我的所作所为确实不公平，这个结果在一定程度上是令人满意的。”他在书中写道。

在书的结语中，弗伦克尔回忆自己第一次到达波士顿洛根机场的情形。“有一部著名的电影叫作《来自俄罗斯的爱情》，不过，我拥有的不是爱情，而是对数学抱有的一片痴情。”他以感性的笔触写道，我们对数学这个神秘的被遗忘的大陆了解得越深入，就越能深刻体会到我们对它知之甚少，还有更加广阔的空间等待我们去探索。

为了数学的仁慈，诚如作者所言，前方征程还很漫长，仍需要坚持不懈的努力和持久的热爱。

*图片来源于网络，如有侵权请联系删除