某数与不同模的剩余

设数Z与模A、B、C、D……的同余为a、b、c、d……，即Z≡a(modA)①，Z≡b(modB)②，Z≡c(modC)③，Z≡d(modD)④……

Z≡a(modA)→

(Z-a)/A=ⅹ→Z=Aⅹ+a，代入②→

Ax+a≡b(modB)，δ₁为A、B最大公约数→ⅹ≡v₁(modB/δ₁)→

ⅹ=(kB/δ₁)+v₁→Z=kAB/δ+Av₁+a→

Z≡Av₁+a(modAB/δ)。

以上Z是同时满足Z≡a(modA)，Z≡b(modB)。

将以Z的表达式代入(k替换成ⅹ，习惯以ⅹ表示未知解)③→

ⅹAB/δ₁+Av₁+a≡c(modC)，δ₂为AB/δ₁与C的最大公约数→

ⅹ≡v₂(modC/δ₂)→ⅹ=(kC/δ₂)+v₂→

Z=(kABC/(δ₁δ₂))+(ABv₂/δ₁)+Av₁+a

→Z≡(ABv₂/δ₁)+Av₁+a

(modABC/(δ₁δ₂))

同理可推出Z≡r(mod(ABCD……/δ₁δ₂δ₃δ₄……)