多体系统求质心

在一维横轴上，距原点ⅹ₁有质量m₁的物体及距原点ⅹ₂的m₂。m₁a₁=F₁=F₁₂(m₂对m₁的力)+F₁ₑ(对m₁的外力)①，m₂a₂=F₂=F₂₁+F₂ₑ②，①+②→

m₁a₁+m₂a₂=F₁₂+F₂₁+F₁ₑ+F₂ₑ=Fₑ，即内部相互作用抵消，只有合外力。

定义质心X=(m₁ⅹ₁+m₂ⅹ₂)/(m₁+m₂)=(m₁ⅹ₁+m₂ⅹ₂)/M

→Ma=Fₑ，

a=M*((m₁a₁+m₂a₂)/M)=M*X的二阶导数→M*(位移R向量对时间的二阶导数)=F向量

X=(Σmₐⅹₐ)/(Σmₐ)(a取N)

一质量M，分布均匀，长度L的木板质心。设左端为原点，取X处dⅹ宽的质量δm=(M/L)*dⅹ→

X=(∫ⅹδm)/M(0到L积分)=(1/L)*∫ⅹdⅹ=(1/L)*(L²/2)=L/2。

根据对称性，找到对称位置将左右互相映射→X=-X→Ⅹ=0→对称位置为质心所在。

等腰三角形，对底(长2b)做高h，对高h，左右对称，质心在高上，上下不对称，不能根据对称性找质心。设上顶点为原点，高h为ⅹ轴，建立坐标系，取距原点ⅹ处，dx宽，高2y的近似矩形，根据相似三角→y/b=ⅹ/h→y=(ⅹb)/h

A为三角形面积=2bh/2=bh

δm=

(M/A)*2ydⅹ=

((2M(ⅹb)/h)dⅹ)/(bh)=

(2Mⅹdⅹ)/h²→X=(∫ⅹδM)/M=

2/h²∫ⅹ²dⅹ=2/h²*h³/3=2h/3(从0到h积分)