二维空间能量守恒

1.△k=△w=F△ⅹ→

△k/△t=F△ⅹ/△t=Fv=W

E=(1/2)mv²=(1/2)m(vₓ²+vᵧ²)→

△E/△t=(1/2)m((△vₓ²/△t)+(△vᵧ²/△t))=Fₓvₓ+Fᵧvᵧ=Fv→

△E=Fₓdⅹ+Fᵧdy=Fdr→

E2-E1=∫Fdr

定义A、B两二维空间向量点乘

A·B=AₓBₓ+AᵧBᵧ=

|A|cosθᴬ·|B|cosθᴮ+

|A|sinθᴬ·|B|sinθᴮ=

|A|·|B|(cosθᴬcosθᴮ+sinθᴬsinθᴮ)=

|A||B|cos(θᴬ-θᴮ)=|A||B|cosθ(θ为A、B间夹角)

2.∫Fdr=U₁-U₂在一维空间中，路径固定，肯定成立。在二维空间中，从一点到另一点有无数条路径，不能保证一定成立。

假设成立，即有U(ⅹ，y)→Fₓ=-∂U/∂ⅹ，Fᵧ=-∂U/∂y

∂(∂U/∂ⅹ)/∂y=-∂Fₓ/∂y=

∂(∂U/∂y)/∂ⅹ=-∂Fᵧ/∂ⅹ

即对任给一个二维空间矢量力，若ⅹ方向分力对y求偏导与y方向分力对ⅹ求偏导相等，则∫Fdr=U₁-U₂成立，即做功变化与路径无关，只与始末位置有关。这种力叫保守力。