《几何原本》第十四、十五卷命题一览

作者 | 刘瑞祥

现在通行的汉语白话版《几何原本》，是以希斯整理的英文版为基础的。这个版本只有十三卷，而本文提到的第十四卷、十五卷，其母本与之不同。一般认为，这两卷不是欧几里得所著，但既能附骥于后，自有一定价值，如一直不能与读者见面，亦属可惜。我经多方查找，最终在上海古籍出版社1996年版的《续修四库全书·子部·西学译著类》中找到了全部十五卷内容。按，此二卷连同第七至第十三卷，即清末伟烈亚力、李善兰合译部分。我不揣冒昧，将后两卷译为白话，列之于下，敬请读者一阅。为方便读者对照及提出意见，将原文一并列出，图则附于白话译文和文言译文之间。

重点字词释义

例：引理；

系：推论；

同球所容、同圆所容：同一球内（的内接多面体）、同一圆内（内接多边形），《几何原本》里指的都是正多面体、正多边形；

平圆：圆，中国古代曾以“立圆”称球；

中末比：黄金分割，现代白话文版称“中外比”；

大分、小分：分别为对一线段黄金分割后得到的大段线段、小段线段，如原线段（中末全线）为1，大分即约为0.618。

前言：

这里原著有一段前言如下，笔者没有译出，这是避免错译以贻害读者：

此下二卷乃后人所续，或言出亚力山太【地名】虚西格里手。卷首列书一通，有复以仆所撰者寄呈左右云云。而书不署名，究不知是虚西氏否也。

与薄大古书

某启：推罗白西里第在亚历山太时，与家君时相会语，讲明算学，家君甚爱其明悟。一日相与论亚波罗泥所著《同球容十二面二十面二体较义》尚未尽善，家君尝与白里第改定其例，其后仆得亚波罗泥别本，论此理甚精微，与昔见本不同，读之不觉狂喜。此本今已不啻家有其书矣。然因阁下与家君及仆累世交好，故敢复以仆所撰者寄呈左右。阁下于此事称最精伏，祈详加检阅，我不逮幸甚。

第十四卷

1. 从圆心到该圆内接正五边形的一边做垂线，垂线段长为该圆内接正六边形和内接正十边形边长一半的和。

在ABC圆内，BC为正五边形的一边，D为圆心，做DE垂直BC于E，延长DE交圆于F，求证DE为该圆内接正六边形、正十边形边长和的一半。

从圆心至本圆所容正五边形之一边作垂线，此线为本圆所容六边形十边形各一边之半。

解曰：甲乙丙平圆，乙丙为本圆所容正五边形之一边，丁为圆心，作丁戊为乙丙之垂线，引长丁戊至己。题言丁戊为本圆所容六边形、十边形两边和之半。

引理：圆内正五边形，以其两邻边为腰，作底边，则腰上的正方形，加上底边的正方形，等于圆半径上正方形的五倍。

AC是圆ABC内接正五边形的一边，D是圆心，作DF垂直AC于F，延长DF，交圆于B、E两点。又连接AB，求证AB、AC上的正方形之和是DE的五倍。（注意AB是圆内接正五边形对角线，即原文所谓以正五边形两边作腰而成的三角形的底边。——刘注）

例：圆内五等边形，以形之二边为三角形之二腰，而做底边，则一边之正方加底边之正方，五倍圆半径之正方。

解曰：甲乙丙圆，甲丙为所容五边形之一边，丁为圆心。作丁己为甲丙之垂线，引长之至乙至戊，又作甲乙连线，例言乙甲、甲丙之二正方和五倍丁戊之正方。

2. 同一球的内接正十二面体的正五边形表面和内接正二十面体的正三角形表面的外接圆相同。

AB是球的直径，作内接正十二面体和正二十面体，CDEFG是该正十二面体表面的正五边形，HKJ是该正二十面体表面的三角形，求证二者外接圆相同。

如例既有确证，乃可明同球十二面体之五边形、二十面体之三角形，为同圆所容之理。

解曰：甲乙为球之径线，于球内作十二面体、二十面体，丙丁戊己庚为十二面体之五边形，壬子辛为二十面体之三角形，题言此五边形、三角形为同平圆所容。

3. 球内接正十二面体的五边形，从圆心到任一边作垂线，则一边与垂线段构成的矩形面积的三十倍，和该正十二面体的表面积相同。

ABCDE是正十二面体的五边形，作其外接圆，F为圆心，过F作FG垂直CD于G，求证CD、FG构成的矩形的三十倍是该正十二面体的所有面之和。（左图）

另：作等边三角形ABC外接圆，D为圆心，作DE垂直BC于E，求证BC、DE构成的矩形的三十倍是以该正三角形为面的正二十面体的所有面之和。（右图）

容十二面体五边形之平圆，从圆心任至一边作垂线，则三十倍一边与垂线之矩形，等于十二面体诸面之和。

解曰：甲乙丙丁戊为十二面体之五边形，作外切平圆，己为圆心，作己庚为丙丁边之垂线，题言三十倍丙丁、庚己之矩形，等于十二倍甲乙丙丁戊五等边形，即本体诸面之和。

更论曰：作甲乙丙等边三角形之外切平圆，丁为圆心，作丁戊垂线，则三十倍乙丙、丁戊之矩形，等于二十面体之总面。

推论：同一球的内接正十二面体、正二十面体的总面的比，相当于正十二面体的一面的边及从外接圆圆心至边的垂线段构成的矩形，与二十面体的一面的边及从外接圆圆心至边的垂线段构成的矩形的比，也就是这两个正十二面体、正二十面体的比。

系：十二面、二十面二体之总面比，若五边形一边及从心至边垂线之矩形，与二十面体一边及从心至边垂线之矩形比，亦即十二面、二十面之二体积比。

4. 同一球内接正十二面体各面的和，与内接正二十面面体各面的和之比，相当于同一球内接正六面体一边与正二十面体一边的比。

ABCD是同一球内接正十二面、正二十面体的一个面的外接圆。CD是其内正三角形的边，AC是其内正五边形的边，E是圆心。过E作EF垂直DC于F，EG垂直AC于G。延长EG交圆于B，连接BC。另作线段H为同一球内接正六面体的一边，求证正十二面各面的和，与正二十面体各面的和，等于H和CD的比。

同球所容十二面体之总面，与二十面体之总面比，若六面体之一边与二十面体之一边比。

解曰：甲乙丙丁为容同球十二面体五边形二十面体三角形之平圆。【本卷二】其内作丙丁为三角形之一边，作甲丙为五边形之一边。戊为圆心，戊己为丁丙之垂线，戊庚为丙甲之垂线。引长戊庚至乙，作乙丙线。另以辛为本球所容六面体之一边。题言十二面体之总面与二十面体之总面比，若辛与丙丁比。

又证：同球内接正十二面体和二十面体所有面的比，等于同球内接正六面体和正二十面体的一边比。

引理：设ABEC圆，连接其内接正五边形的两条边AB、AC，连接BC。D为圆心，连接AD延长，交圆于E点，交BC于G点。在DE上取一点F，使DF为AD的一半，在CG上取一点H，使CH是CG的三分之一。求证AF、BH构成的矩形等于该内接正五边形。

又显，十二面体与二十面体之二总面比，若六面与二十面二体之边比，先以一例明之。

例：设甲乙戊丙圆内作甲乙、甲丙五边形之二边，又作乙丙线。丁为圆心，作甲丁线，引长至戊，取丁己为甲丁之半，取丙辛为丙庚三分之一，则甲己、乙辛之矩形等于五边形之面积。

5. 大小两个正方形，大正方形等于一已知线段及其中外比得到的长线段上正方和的边，小正方形等于该线段及其中外比得到的短线段上正方和的边，则这大小两个正方形的边之比，相当于同球内接正六面体和正二十面体的体积比。

大小二正方，大正方等于中末全线及大分之二正方和，小正方等于中末全线及小分之二正方和，则大小正方之二边比，若同球所容六面体二十面体之二边比。

6. 同一球的内接正六面体、正二十面体的边长比，相当于同球的内接正十二面体、正二十面体的比。

同球所容六面体之一边，与二十面体之一边比，若十二面体与二十面体比。

7. 将两已知线段分别作中外比，则该两条线段之比与分得的大段线段之比相同。

AB分中外比于C点，AC是大段，DE分中外比为F点，DF是大段，则可证AB比DE等于AC比DF。

二线俱分为中末线，则二全线与二大分同比例。

解曰：甲乙于丙点分为中末比，甲丙为大分，丁戊于己点分为中末线，丁己为大分。题言甲乙全线与大分甲丙比，若丁戊全线与大分丁己比。

推论：同球内接正十二面体与正二十面体的表面积之比，相当于一线段及分为中外比得到的大段上的正方和，与原线段及分为中外比得到的小段上的正方和，二者的边长比。

系：同球十二面体与二十面之二总面比，亦若全线及大分之二正方和，与等全线及小分之二正方和，正方之边比。

第十五卷

1. 给定一个正六面体，求内接正四面体。

已知ABCDEFGH为正六面体，求作内接正四面体。

有正六面体，求所容之正四面体。

法曰：甲乙丙丁戊己庚辛为正六面体，求所容之正四面体。

2. 给定一个正四面体，求内接正八面体。

有正四面体，求所容正八面体。

3. 给定一个正六面体，求内接正八面体

有正六面体，求所容正八面体。

4. 给定一个正八面体，求内接正六面体。

有正八面体，求所容正六面体。

5. 给定一个正二十面体，求做内接正十二面体。

有正二十面体，求所容正十二面体。

6. 求五种正多面体的边数、角数。

求五体之诸边诸角。

7. 求五种正多面体相邻面的交角。

求五体之面倚度。（本命题有一段话：“此法西士伊雪陶所创……伊氏所言止此，别无发明，盖谓人易明也。余谓不可不显其理，令读者无疑，因逐条论之如左：”中间省略部分为作图法，这段话后是除正六面体以外的论证过程，一证前面所作各图确实能形成交点；二证交角是钝角还是锐角。前面的五个图，第一图为正四面体情况；第二图为正八面体情况，其中ABCDE均为多面体的顶点；第三、四图为正二十面体情况，ABCDE为顶点；最后一图为正十二面体情况，FGAEB和FGCHD为两个表面）

论曰：置五体，各求其二面相交之倚度。