本文为“第三届数学文化征文比赛

“将军饮马”问题的前世今生

作者: 周芬

作品编号：055

数学是一门历史悠久的科学，古往今来，从结绳记事开始，数学就在人们的生活中常常露面。距今1300多年前的唐朝著名诗人李颀，与王维、高适、王昌龄等著名诗人皆有来往，诗名颇高。他的诗以写边塞题材为主，风格豪放，慷慨悲凉，七言歌行尤具特色。其代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这首诗中就隐含着一个有趣的数学问题．

如图，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？这就是著名的“将军饮马”问题的前世。

有趣的是，这个问题早在古罗马时代也出现了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从A地出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的营地B处开会，应该怎样走才能使路程最短？

从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它．

我们将问题抽丝剥茧，进一步画图为：

图中所示O点便为最佳的饮马地点，原因在于，根据轴对称性质，从A到O和从A’O距离相等，而两点之间线段最短，所以A’B即为能取的最短值。这其中也蕴含了化归思想—将不在同一条直线上的两条线段转化到一条直线。

这个著名的“将军饮马”问题，也是数学中典型的最短路径问题的模型。事实上，这只是最短路径的一种基本形式，今生，它还延伸出多种变化：

变式一：几何图形中的“将军饮马”问题

（1） 三角形中的“将军饮马”问题

例一：如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值 。

评析：此例是求两个定点到直线上一个动点距离和最短问题。只要抓住模型的本质特征，作出图形，找到点M的位置并不困难。例如：解法（一）图形，然后利用等边三角形的特殊性质，结合勾股定理的知识，再求出这条线段CE’的长度。也可用解法（二）图形，先利用模型，再根据“点到直线的距离最短”并结合勾股定理来考虑解题方案。由此看来，有了“将军饮马模型”真是妙不可言，它能很好的帮助我们扫除思维的障碍，为进一步顺利的解题提供了保障。

（2）四边形中的“将军饮马”问题

例二：如图，在矩形ABCD中 ，AB=5 , BC=10.若点M、N分别是线段BD,BC上的两个动点 ，则MC+MN的最小值为 。

评析：如答图所示，作C点关于BD对称点C′，交BD于点E，连接BC′，过点C′作C′N⊥BC于点N，交BD于点M，连接MC，此时CM+NM=C′N最小.在Rt△BCD中，由勾股定理得，由等积变形

例三：如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为 。

评析：此题符合模型“两定点，一动点”情形，根据模型，容易作出图形并求解。

例四：如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 。

评析：此题符合模型,解答时可直接应用模型。同样去找点D关于AC的对称点B，连接BE,与AC交点即为所求作的点P。

例五：如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8。点P是AB上一个动点,则PC+PD的最小值为 。

评析：题目符合模型,解答时可直接应用模型。

（3）圆形中的“将军饮马”问题

例六：如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为 。

评析：根据模型和圆的对称性,应用模型容易得到答案。

（4）立体图形中的“将军饮马”问题

例七：如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm。

评析：本题考查了圆柱的展开图、矩形的性质、模型应用、勾股定理等知识。它的巧妙之处在于对称轴不易被发现，学生难以作出图形，所以无法解答。如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。利用模型和三角形三边关系知AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，再结合勾股定理求解。

变式二：直角坐标系中的“将军饮马”问题

例八：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B在y轴的右方，如何在y轴上找一个点M，使MA+MB最小？并请写出点M的坐标。

评析：此例是求两个定点到直线上一个动点距离和最短问题。只要抓住模型的本质特征，作出图形，找到点M的位置并不困难。作点A关于y轴的对称点A’,连接A’D，与y轴的交点即为所求。

例九：如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1。

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小。

评析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键。要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，可以联想我们建立的“模型”作出图形，明白了最小的内涵，问题就迎刃而解了。

例十：如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），△AOB的面积是2。

（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。

评析：本题第（3）小题△AOC周长等于AC+CO+AO，而点A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A，O，所以题目的条件符合模型，直接应用模型解决问题。

小结：对于“将军饮马问题模型”的变式应用不难发现：这个模型不仅可以在三角形、矩形、菱形、正方形、直角梯形、圆、立体图形等图形中，还可以存在于直角坐标系、反比例函数、二次函数等函数中。虽然每个题目的呈现形式不同，但解决问题的本质方法不变。其实质是已知两个定点和直线上一个动点，求组成的线段距离和最短问题。在教学过程中，我们应先帮助学生建立图一这个基本模型，待学生能练掌握模型后，再一“模”多变，举一反三。

你以为“将军饮马”问题今生就是这些变式了吗？别急，它还有拓展呢。

模型拓展——由定点和动点或多个动点组成的线段距离和最短问题

拓展①：一定点、一动点到直线上一动点组成的线段距离和最短问题

例十一：如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，∠BAC=60°。∠BAC的角平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 。

评析：此例和我们已建立的模型有所不同，不能简单的只考虑模型。此题中只有一个定点B，但有两个动点M,N。所以在解答时，我们不仅要考虑应用模型，还必须考虑到如何才能使BH（解法图形中）最短，这时就需要应用“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”这个基本事实并结合勾股定理（或三角函数）才能有效的解决问题。

模型拓展②：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题

例十二：如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R（均不同于O点），则△PQR的周长的最小值为 。

评析：本题中虽然△PQR三条边都是变化的，但是只要利用好模型，将三条线段放到同一条直线上，问题就得以解决。这一问题的解题依据与“将军饮马问题”类似。

模型拓展③：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题

例十三：如图,在四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别找一点M,N,使△AMN的周长最小,则此时∠AMN+∠ANM的度数是 。

评析：本题与上题类似，题目的背景由角改为四边形，利用好模型，将三条线段放到同一条直线上，问题就迎刃而解。

模型拓展④：两定点与两动点组成的最短路径和四边形周长最小问题

例十四：如图，已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN等于定长d（动点M位于动点N的左侧），使AM+MN+NB最小.

例十五：如图，已知A、B是两个定点，两条平行直线l与m之间的距离为定值d，在定直线l上找一动点M，在定直线m上找一动点N，且MN始终垂直于直线l，使AM+MN+NB最小.

评析：以上两个问题的本质相同，都属“两定两动型”最值问题，其解决方案也相同，只需紧紧抓住题目中的不变量，即两动点构成的定长线段提供的平移方向与平移距离，将其中一个定点进行平移，问题即可转化为“将军饮马”问题从而得解.

例十六：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点。

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF周长最小时，求点E、F坐标。

评析：本题的最大亮点是将模型和拓展问题融合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中。第（1）小题直接应用模型容易求解。第（2）小题难度较大，除需要应用模型，还要应用线段平移的知识构造平行四边形GEFC，所以有GE=CF，又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小。

模型拓展⑤：三条直线上三个动点组成的线段距离和最短问题

例十七：如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°。点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为 。

评析：此题P、K、Q三点均为动点，求PK+QK的最小值难度较大，在应用模型解题的同时，还必须考虑应用“两条平行线之间的距离”才能有效解决问题。

将军饮马问题都是探讨PA+PB的值最小，那如果添加一个参数，求PA+k·PB的值最小，应如何解决呢？

模型拓展⑥：求“PA+k·PB”的值最小

例十八：如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点,则 AM+ BM 的最小值为____________。

解析：如何将 BM 转化为其他线段呢？即本题 k 值为，必须转化为某一角的正弦值啊， 即转化为 30°角的正弦值。思考到这里，不难发现，只要作 MN 垂直于 BC， 则 MN=BM，即 AM+BM 最小转化为 AM+MN 最小，本题得解。

例十九：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6， ⊙C 半径为 2，P 为圆上一动点，连结 AP，BP，求 AP＋BP 的最小值．

评析：如解法图形 ，连接 CP，在 CB 上取点 D，使 CD＝1，则有 CD /CP=CP/ CB= ，又∵∠PCD＝∠BCP,∴△PCD∽△BCP, ∴ PD 1 BP 2 = ,∴PD＝ 1 2 BP,∴AP＋BP＝AP＋PD．只要A,P,D三点共线就能得到最小值。

看完这些题型，相信读者们对“将军饮马”问题的前世今生有了更深的理解，如此多的题型，究根结底，还是回归到最本质的思想：两点之间，线段最短。所以，在平时的教学过程中，我们教师要积极渗透数学模型思想，讲清讲透每个数学模型，这样不仅能帮助学生拓宽数学知识面，而且有利于培养学生思维的深刻性、广阔性和灵活性。让学生学会用数学的眼光思考问题，为创新能力和实践能力的培养提供更广阔的空间。

参考文献：知乎网《中考热点：将军饮马问题的四种拓展类型》

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