探寻单位“1”下的直观模型——读《度量：一首献给数学的情歌》有感

本文为“第三届数学文化征文比赛

探寻单位“1”下的直观模型

——读《度量：一首献给数学的情歌》有感

作者: 周光平

作品编号：052

去年参加了第二届数学文化征文活动，笔者得到了人民邮电出版社「美」保罗·洛克哈特写著王凌云译的赠书《度量：一首献给数学的情歌》。出于对书名中“情歌”的好奇，笔者一口气就读完了这本图书。

毫无疑问，市面上显然有各类各样度量方面的教材和科普书。张奠宙先生在《小学数学教材中的大道理》说，测量过程的本质一样，数学测量的本质是给每一个线段一个合适的数，面积是一个数。史宁中教授在《小学数学基本概念和运算法则》中对三者的刻画是：长度是一维空间图形的度量，面积是二维图形的度量，体积是三维图形的度量。这三种度量的基础是直线段的长度，直线段长度的基础是两点间的直线距离。因此度量必须确定度量单位，所谓的度量就是：计算所要度量图形所包含多少个度量单位。面积和体积度量单位的基础是一维空间的长度单位，这个长度单位是人为规定。但是，本书的阅读给了我新的认识，度量是数学的本质，是人创造出来的数学语言，是人认识、理解和表达现实世界的工具。度量的目标是在探寻单位“1”下的直观模型，寻求中比例、想象和探索竟是如此之重要。

比例，让探寻之路有了着力点。

无论长度、还是面积、体积，数学意义上度量的本质是一样的，都是对图形大小根据度量法则赋予一个非负数，这个数没有物理意义上的单位，用什么单位都不重要，重要的是必须有数学上的单位1。所有的图形的度量都需要给定一个度量单位，然后用这个度量单位1去铺这些图形，度量的结果就是求这个图形能用多少个（一个非负数）度量单位1把这个图形铺满，这个数就是度量结果。这个结果其实就是一个“相对比例”而已，选择不同的“尺子”可能会得到不同的一个数，但按比例缩放后对角度不会造成影响，对形状不产生影响。这可以让我们所聚焦的问题暂时忽略掉大小问题，可以将同一“形状”装在不同人的大脑里，不同的大脑在研究时都能能抓住本质聚焦于同一个稳定的模型。数学世界就是这个不从属于世俗和武断的模型世界，这个世界里的模型就像一首首空灵的歌，是数学最有吸引力的情歌。

书中的模型很多，最易于我们理解就是正方形这一概念模型。在寻求这一模型中，我们是在不断地进行构造：四边——相等的四边——四个直角和相等四边，有了这样的约束后，形状就有了唯一性，就可以导出重要的推论，而这些推论不会因为正方形的大小而改变。事实上，这样一个单位1下的数学直观模型因为有了充分的约束后，其“数学的本质力量”就会控制它自己的所有行为。例如把正方形的边长作为单位1，那大小不一的正方形周长必然是它边长的四倍，即可记为4。有了这个本质的发现，那正方形的周长、面积等的度量也就是一个数的赋予而已了，度量任何它相似的图形就仅取决于一个比例系数。因此，比例让我们在探寻单位1下的数学直观模型时，有利于我们聚焦问题的本质，有利于我们找到研究图形结构的着力点，有利于展示这个直观模型的数学真正力量。

想象，让探寻之路有了灵魂。

如果物理现实是带给我们浓厚的兴趣是因为“揭秘”，那数学世界带给我们的就是抽象了的“想象”；所有物理上的度量因为工具都是粗略近似的，而数学上的度量却因为是单位“1”下的直观而精确。想象就是在最严格的逻辑缜密标准下探寻形状、运动等为表达现实所需精简模型的不断尝试，这正像是在创作一首可供欣赏的歌，一首数学最艺术的情歌。

想象，在不断尝试中的发现都会个个是创意。当我们拿着一把直尺去度量一个长方形的对角线的长度时，你或许体验不到任何惊喜。但是，当我们把对角线的长度和两条边的长度联系起来后，通过论证发现这里竟然隐藏着“神秘”规律——毕达哥拉斯定理，而且与你用直尺测量对角线长度的结果和用定理得到的结果是一样的，那可不得了，这真是一个惊喜。可见，这条对角线的长度不会因为我们的测量而变化，因为它一直都在那；因此，我们用规律度量不仅可以甩开工具的约束，而且得到的结果比用工具得到的结果更准确。这样，我们特别要关注的就只剩下如何让人理解“这个结果为什么是最准确的？”这个问题，或者说，度量得到结果不是最为重点，而是怎样得到结果才是重点，才有惊人的魅力。为了这个目的，我们在度量的路上努力地想象、论证和构造新模型。在这个过程中我们发现了无法用工具测量的对角线长度，甚至类比迁移到三维的长方体对角线长度的精美模型是。精美模型的创造就是想象和推理的结果，是洞察力和创造力的完美体现，是探寻路上的灵魂。

当想象遇到推导后，看到的数学就会处处是惊喜。书中在发现面积和体积的精美模型时，完全区别于课标下的教材，从单位正方形不同方向的拉伸系数a和b的变化得到了长方形的面积公式a×b。用一个长方形盒子将三角形围在其中，直观地看到拉伸变化过程中只有一个方向的拉伸系数在变，从而发现三角形的面积是×a×b。用一个圆把正多边形围在其中，随着边数n的无限增大，正多边形的面积×h×a×n(a为边长)就会因h=r,na=C而必然会等于圆的面积rC。设想一个棱锥体放到一个底面相同、高度相等的盒子里，根据棱锥体占整个盒子多大比例可以推导出V，再推导到V；还可以进一步展开想象得到圆锥体的体积，一般化后还得到古老漂亮的卡瓦列里原理；再推理得到连接立方体六个面的中心点形成的八面体体积是这个立方体体积的，链接六个面上的对角线形成的正四面体的体积是它的，以及球的体积、圆缺、圆环体体积等等一个个美妙的度量，这个探寻的旅程实在是太美妙了，这种美妙就是一首首数学的情歌，沁人心扉。

探索，让探寻之路有了魅力。

当想象给了我们无限可能之后发现，数学在探寻单位1下的精美模型时，直觉和推理结合就是探索的精髓，是展示探寻魅力之所在。数学是一种典型的人类智力活动，她的工作原理就是探索模型，探索的旅程就是语言、模型、好奇、快乐交汇的地方，是一个免费自私的娱乐场。在这个场里不断积累思维活动经验，经过独立思考，不断学会思考，通过类比推理等思维方式，发现并提出了一系列新的问题，甚至是创造性的问题和模型，不断拓展数学思考的深度、广度和高度。探寻路上，如果我们找到了探寻方法，那原来看起来单调乏味的数学知识也会处处发现奇妙之处，此时就绽放出数学思考的无穷魅力，这种魅力就像一首美妙的歌，一首数学最动听的情歌，全书的每个主题基本上都是在奏响一曲曲和谐的交响乐！

从特殊到一般的探索，帮我们不断打破了认识数学直观模型的边界。印象最深的是书中对三角形的边角关系探究中，把特殊的直角一般化为任意角，遵循追求对称的直观模型，毕达哥拉斯定理就推广到了广义的毕达哥拉斯定理cosC。如果再展开一系列的想象和推理，发现更多的直观模型，如正弦定理、海伦公式等，完美的度量三角形就只是一个求值问题而已。如果再迁移到三维的多面体，把多面体分割为不同的四面体，再用三角形度量，那又只是个正余弦问题了。从静态到动态的探索，帮我们不断深化了认识数学直观模型的维度。如果大圆面积减去小圆面积来得到圆环面积是静态思考，那我们换一种思考，可以将圆环看成由一根树枝沿着圆形路径清扫一周的面积

数学的魅力就是在探索中展示出这些惊奇的想象力、洞察力、创造力，就是一次次体验到迷人的无数奥秘与激动发现，征服了曾经遇到艰难的数学问题所带来的快感，就是在领悟到深邃数学思想时的那种享受，就是在一次又一次兴奋地投入到新的探索中去寻找和创造美丽的数学直观模型的那种快乐激情。当然，在探索得到优美的、隽永的数学直观模型中也总会遇到困难重重、令人沮丧的时候，象所有数学家一样遇到再熟悉不过的“被困住”，有人大多时候还都处在这个状态中。但探寻路上，当数学的探索不再受到工具的限制，物理现实的约束，可以自由的、私自的在渴望理解、满怀好奇中去展开想象、挑战构思时，那探索就能让人深深陶醉、流连忘返。当你怀揣着解开千古之谜的信念去猜想尝试，那想法就会越来越丰富、越来越成熟，就会象有经验的数学家一样对结构、对模型很敏感，那激动的心情和惊喜也就不远了。

数学就是一直在探寻单位1下的直观模型，探寻之所以会一次次返回到从头开始想象、猜测、探究数学本质的力量、积聚探索的动力，就是因为探索过程象一条没有尽头的河流旅程，不管最后会否迎来惊喜，沿途总是充满着美丽和乐趣。我们还是希望自己能早点体验到这种乐趣，希望数学教材和科普类的书能降低年龄层去接受到这种乐趣。这需要我们像作者保罗·洛克哈特一样不断去传递热爱数学的缘由，激发和激励孩子们应有的好奇心，帮助和引导孩子们投身到这个迷人的探寻之旅中。

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