基于数学之美的小学数学命题设计

本文为“第三届数学文化征文比赛

基于数学之美的小学数学命题设计

作者: 周光平

作品编号：054

发现数学的美需要我们有一双欣赏数学的“慧眼”，还需要我们有一颗领悟数学的“心”。领悟和欣赏数学之美是一个人数学素养的基本成分，能够领悟和欣赏的数学的简洁、对称、奇异之美，也是进行数学研究和数学学习的重要动力和方法之一。能够领悟和欣赏数学美的本质也有助于培养学生对待数学以及数学学习的态度，那数学的命题设计就可以从数学之美出发，围绕小学核心知识和学段学科素养的视角去欣赏感悟素材选择和命题导向，从学段的关键能力和必备知识去命题。

一、以高考题为素材，改编为富有数学之奇妙的试题

情境与问题是体现数学学科核心素养的一个重要方面。不管是现实的情境、数学学科的情境、还是科学类的情境，都承载着育人的功能，都指向数学问题的提出，是落实“五育并举”的重要表现形式。例如，2019年文科、理科全国Ⅰ卷第（4）题就以著名雕塑“断臂维纳斯”为载体，探讨人体黄金分割之美，积极引导学生关注美育，培养审美意识。

在人教版小学数学六年级上册第51页的“你知道吗？”也介绍了“黄金比”。小学也可以借助这个情境，改编基于小学“比的认识”这个知识点和比的应用能力来改编习题：

类比设计1: 当人体的上半身和下半身的比值约为0.62时会给人一种优美的视觉感受，人们称它为“黄金分割点”有一位阿姨下半身长95cm，她选择鞋跟5cm高跟鞋，就达到了“黄金分割点”。这位阿姨身高。

A. 168cm B. 162cm C. 157cm D. 155cm

逆向设计2:当人体的上半身和下半身的比值约为0.62时会给人一种优美的视觉感受，人们称它为“黄金分割点”。有一位阿姨上半身长62cm，下半身长95cm，按此“黄金分割点”，她应该选择款高跟鞋。

综合设计3:你听说过“黄金比”吗?把一-条线段分成两部分，如果较短部分与较长部分长度之比等于较长部分与整体长度之比，我们把这个比称为黄金比(约为0.618:1)。意大利杰出画家，建筑师、机械专家和数学家达芬奇,他利用数学知识来研究素描艺术和力学问题,创作了许多杰出的作品，这些作品在涉及比例关系时，用的就是0.618:10而把0.618:1誉为“黄金分割”的也正是这位艺术巨匠。以下线段哪- -点表示黄金分割点，请说明理由。(请应用比的知识来计算并进行说理)

不管是高中还是小学，在培养学生发现美、欣赏美的过程都是必须的，数学美包括对称美、和谐美、简洁美，数学起着重要作用。但在“美”的背后必须指向了数学学科素养来提出问题，根据应对问题情境的需要，合理地组织、调动各种相关知识与能力，系统化、多层面、多角度地对新信息进行加工处理，融会贯通地把握新信息的实质，把握新旧信息的联系，形成对新信息的准确判断、分析与评价。

二、以不同表征为素材，整编为富有数学之“简”的试题

数学知识的学习随着学段的升级，知识的表征更加丰富和抽象、技能水平进一步提升、思维品质随之提高。因此，在小学构建的最初级概念时，如果能系统地考虑到异质材料的选择、多维度探索的研究、不同抽象层级的表征，那概念的“种子”就可能能在不同学生今后的学习中发芽。例如高中的三角函数f(x)= Asin(ωx+φ) (A>0，ω>0, φ∈(0, n))，表示“角的大小”的数X，是通过单位圆转化为坐标系横轴上的点来抽象表征后得到的。但角的概念和大小的度量，在人教版小学数学四年级上册第三单元就是孩子首次建构的核心概念。其中“角的分类”这个知识点，就把从已有经验的直角、钝角、锐角的大小作为深入认识“角的分类”的出发点，在“角的度量”学习基础上，对直角、钝角、锐角作出新的深化认识。但是学生直到初中毕业时的认识都仍然停留在两条射线组成或是一条射线旋转得到“具象化”的角的认识，根本无法相信角的大小可以用一个“数”来表示。虽然有些学生根据生活经验对大于360度的角有很多好奇，对更多的角的表示有疑问，却没有给予适当引导。在第三学段的学习中也几乎没有涉及，待到高中“三角函数”图像的学习时，部分学生对旧知的角的固有认识，要通过单位圆来转化为点和数来表示存在相当大的困难。因此，在小学的教学中就可以基于学生的认识进行适度的拓展，种下这颗对角的大小多层次表征的“种子”。我们尝试整编下面这道角的大小和分类的试题进行调研：

如图，下面线段表示0°到360° 。

（1）请在线段上用点C标出直角、用点D标出平角的相应位置。（2分）

（2）点A表示（ 钝 ）角，点B表示（ 锐 ）角，请分别写出你判断的依据。（3分）

（3）判断依据只要说理清楚都给分。（文字，算式都可）

通过学生答题数据分析可知，学生是可以接受这样试题的。因此，为帮助学生形成数学学科素养，在相关知识与技能的探索研究、实验活动的过程中，我们应该放眼更长的学段去思考，站在知识整体的框架下扣紧核心知识与技能的学段表征本质，提出新观点或发现新问题，寻求到试题创编的新途径。

三、以人文科学为素材，创编为体验数学之美的试题

数学是思维的科学，也是人文科学，高中试题在新的评价体系下重视对问题情境的分析，从多元性、情境性、关联性、层次结构性、动态平衡性、开放性和时序性等方面把握问题与事物的本质。综合运用联想、类比、引申等思维方法，组织、调动相关的知识与能力，解决生活实践或学习探索情境中的各种问题。数学中的“黄金螺旋”在自然和社会中比比皆是，就可以利用这样素材去创编试题，体验数学之美：

在人教版小学数学六年级上册的第五单元里学习了90度扇形的面积、周长的度量问题。因此，我们基于六年级的知识储备，为体验数学的人文思维，也以这样的问题情境来创编试题：

2020年11月，第33届中国电影金鸡奖开幕式在厦门筼筜湖举办！其舞台是根据美丽鹦鹉螺外壳的优美曲线——“黄金螺旋线”来设计的，它可以用大小不同的扇形的弧线画出来，如下图：

（1）图中的第三个正方形和第四个正方形里扇形的半径比是：，面积比是：；

（2）图中第五个正方形里的扇形面积是平方米；

（3）图中第六个正方形里扇形的弧边需要灯光线来装饰，这条线需要米；

（4）图中的任意一个扇形面积都占所在正方形面积的%；

（5）张师傅正在搭建中央舞台，2小时完成中央舞台搭建工作的，每小时能完成搭建工作的，小时才能完成搭建工作。

“一核四层四翼”的高考评价体系中，学科核心素养的层面要求试题的问题情境必须选择能够体现出核心价值的引领作用，确定的关键能力和必备知识必须以学科素养为导向。我们围绕着数学之美的主题，抓住学段核心知识间的勾联，运用开放性、创新性的思维方式设计问题情境，提出富有新视角、新观点、新方法、新设想的问题，创新性地创编生活实践或学习探索情境的各种问题。克服知识记忆、再现能力的试题设计习惯，转向关注学生阅读力、思考力以及表达力命题思考，在数学试题中也可以无痕地落实学科美育。

参考文献：

[1]2019年文科、理科全国Ⅰ卷第（4）题

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