前言

在七年级数学中，同学们学习了《完全平方公式》，课后习题中有这样一个问题：

完全平方数除以3的余数有没有可能是2？

为了回答这个问题，我们先用程序列取一下前20个完全平方数除以3的余数：

从上述结果的输出，可以看出，似乎完全平方数除以3的余数是以011的方式不断重复循环，其中确实没有出现过2，但我们是否可以给出一个证明过程呢？

证明

现对该问题给出一个证明过程：

任给一个自然数n，它都可以表示为3k、3k+1、3k+2三种方式之一，即：

现在我们分情况讨论，这里就用到在七年级学习到的完全平方公式：

讨论如下：

（1）当n=3k时：

此时平方数除以3的余数为0。

（2）当n=3k+1时：

此时平方数除以3的余数为1。

（3）当n=3k+2时：

此时平方数除以3的余数为1。

至此，我们对于所有自然数的平方数全部完成了讨论，由于所有的完全平方数都是自然数的平方，因此对题目的回答是：所有的完全平方数除以3的余数不可能是2。

规律

由任意自然数可以写成：

取k=0,1,2,3....时，n的取值为：

0,1,2,3,4,5,6,7,8,...

根据上述证明过程，可知按自然数顺序形成的平方数，其除以3的余数规律确实呈现出011的形式。

小结

本文将一个看似无从着手的问题用一种分类的思想进行了解答，并且其中只利用到了中学七年级的完全平方和公式，这种分类讨论的方法一直是解决很多全局性数学问题的重要思路，值得同学们体会。