再也不怕斜面上的板块问题了

斜面上的滑板少年

斜面上的板块问题，在高考中也是常规常见题型，在实际中，如同小时候把一木板放在滑滑梯上，然后再坐在木板上滑下来，不知道大家有没有发现，无论什么情况下，总是只有两种情况出现，要不和木板一起滑下来，要不人滑在前面，木板在后面，人的加速度比木板的加速度大，而不会出现木板的加速度超过人的加速度。上面的情景转化为模型图如下图所示。

【反证法】假设木板B加速度大，则B运动速度大，木板B受到木块A的滑动摩擦力沿斜面向上，木块A受到木板B的摩擦力沿斜面向下，再加上沿斜面向下的重力分力，木块A的加速度将大于gsinθ,而木板B的加速度将小于gsinθ,这与假设相矛盾,所以木板B的加速度不可能超过木块A的加速度.对于斜面上的板块问题要如何解题呢? 分三步!

第一步:假设板块和滑块在一起(相对静止),并求出共同加速度a共=？

第二步：求出维持相对静止所需的静摩擦力为多大；f静=？

第三步：所需的静摩擦力和能提供的最大静摩擦力进行比较。如供大于需，则能维持相对静止；如果供小于需，则会相对滑动，变成滑动摩擦力。

例：如图所示，

A、B两个物体叠放在倾角为α=37°的固定斜面上，已知A的质量为mᴀ=1kg，B的质量为mʙ=2kg；A、B之间的动摩擦因数为μ₁=0.1，B与斜面的动摩擦因数为μ₂=0.2；取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现把A、B两滑块同时从静止释放，释放后，A、B两物体的加速度各为多少？（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）

【解析】假设A、B以共同加速a保持相对静止一起沿斜面下滑，则a=gsinα-μ₂gsosα

a=10·0.6m/s²-0.2·10·0.8m/s²

= 4.4m/s²（方向沿斜面向下）

对A：

所受的合力为Fᴀ=mᴀ·a=1kg·4.4m/s²=4.4N.（方向沿斜面向下）

而A已经有了沿斜面向下的重力分力mᴀgsinα=1·10·0.6N=6N.

则所需要的静摩擦力为

fᴀ=6N-4.4N=1.6N.（方向沿斜面向上）

B对A能提供最大静摩擦力为fₘₐₓ=μ₁mᴀgcosα

=0.1·1·10·0.8N=0.8N.

（最大静摩擦力小于所需要的静摩擦力，供小于需）

故静摩擦力无法维持A、B相对静止，A、B之间为滑动摩擦力。A、B所受滑动摩擦力如图所示，

对A：

aᴀ=（mᴀgsinα-f₁）/mᴀ

=（mᴀgsinα-μ₁mᴀgcosa）/mᴀ

=5.2m/s².

对B：

aʙ=（mʙgsinα+f₁-f₂）/mʙ

=［mʙgsinα+μ₁mᴀgcosa-μ₂（mᴀ+mʙ）gcosα］/mʙ=4m/s².

【变式拓展】

若μ₁=0.8，μ₂=0.1；A、B又是怎么运动呢？

【高考题】下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害.某地有一倾角为θ＝37°（sin37°＝0.6）的山坡C，上面有一质量为m的石板B，其上、下表面与斜坡平行；B上有一碎石堆A（含有大量泥土），A和B均处于静止状态，如图所示.假设某次暴雨中，A浸透雨水后总质量也为m（可视为质量不变的滑块），在极短时间内，A、B间的动摩擦因数μ₁减小为3/8，B、C间的动摩擦因数μ₂减小为0.5，A、B开始运动，此时刻为计时起点；在第2s末，B的上表面突然变为光滑，μ₂保持不变.已知A开始运动时，A离B下边缘的距离l＝27m，C足够长.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.取重力加速度大小g＝10m/s².求:

（1）在0～2s时间内A和B加速度的大小；

（2）A在B上总的运动时间.