中考数学压轴题分析：中位线旋转最值

【中考真题】

（2020·重庆）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2√3．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．

（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；

（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；

（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积．

【分析】

题（1）连接CF，求出CF，利用中位线定理得到NG的长度。

题（2）猜测∠DNM的大小不变且为120°（与等边三角形有关的钝角）。那么怎么证明呢？有中点，依然考虑构造中位线。

连接BE与CF，把∠DNM转化为求∠DNE+∠MNE的值，利用平行线的性质进行转化。

题（3）求BN的最大值。把AC的中点J与B、N连接，易得BN≤BJ+JN，三点共线时BN最大，为BJ与JN的和。

有了前面的结论，那么图形就可以画出来了。

要求△AND的面积，只需求出底和高即可。

【答案】解：（1）如图1中，连接BE，CF．

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，

∴AB＝BC＝AC＝8，BD＝CD＝4，

∴AD=√3BD＝4√3，

∵AE＝2√3，

∴DE＝AE＝2√3，

∴BE=√(BD²+DE² )=√(4²+(2√3 )² )=2√7，

∵△ABC，△AEF答等边三角形，

∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF，

∴△BAE≌△CAF（SAS），

∴CF＝BE＝2√7，

∵EN＝CN，EG＝FG，

∴GN=1/2CF=√7．

（2）结论：∠DNM＝120°是定值．

理由：连接BE，CF．同法可证△BAE≌△CAF（SAS），

∴∠ABE＝∠ACF，

∵∠ABC+∠ACB＝60°+60°＝120°，

∴∠EBC+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABE+∠ACB+∠ACF＝120°，

∵EN＝NC，EM＝MF，

∴MN∥CF，

∴∠ENM＝∠ECM，

∵BD＝DC，EN＝NC，

∴DN∥BE，

∴∠CDN＝∠EBC，

∵∠END＝∠NDC+∠ACB，

∴∠DNM＝∠DNE+∠ENM＝∠NDC+∠ACN+∠ECM＝∠EBC+∠ACB+∠ACF＝∠EBC+∠BCF＝120°．

（3）如图3﹣1中，取AC的中点，连接BJ，BN．

∵AJ＝CJ，EN＝NC，

∴JN=1/2AE=√3，

∵BJ＝AD＝4√3，

∴BN≤BJ+JN，

∴BN≤5√3，

∴当点N在BJ的延长线上时，BN的值最大，如图3﹣2中，过点N作NH⊥AD于H，设BJ交AD于K，连接AN．

∵KJ＝AJ•tan30°=(4√3)/3，JN=√3，

∴KN=(7√3)/3，

在Rt△HKN中，∵∠NHK＝90°，∠NKH＝60°，

∴HN＝NK•sin60°=(7√3)/3×√3/2=7/2，

∴S△ADN=1/2•AD•NH=1/2×4√3×7/2=7√3．