中考数学压轴题分析：角平分线+平行得等腰

【中考真题】

（2020·牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：

（1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE+BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）

（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）、（2）的条件下，若DE＝2AE＝6，则CF＝　 　．

【分析】

题（1）证明线段的和差关系，这里并不需要截长补短。

而是“角平分线+平行线→等腰三角形”。

图中MF与CF易得相等，然后进行转化即可。

题（2）是在（1）的基础上面变化而来的，所以结论的话类似。但是图②这里BC的长度是最大的，所以变成另外两个之和等于BC。而图③中最长的又变成了AE了。证明方法都差不多。

题（3）知道AE、DE的长度，那么BC的长度就知道了。再利用等量关系求出CF即可。但需要根据3个图进行分类讨论。

平行+角平分线必得等腰

【答案】解：（1）如图①，延长CD，FE交于点M．

∵AB＝BC，EF∥BC，

∴∠A＝∠BCA＝∠EFA，

∴AE＝EF，

∴MF∥BC，

∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，

又∵∠FCM＝∠BCM，

∴∠M＝∠FCM，

∴CF＝MF，

又∵BD＝DE，

∴△MED≌△CBD（AAS），

∴ME＝BC，

∴CF＝MF＝ME+EF＝BC+AE，

即AE+BC＝CF；

（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE+CF，

如图②，延长CD，EF交于点M．

由①同理可证△MED≌△CBD（AAS），

∴ME＝BC，

由①证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，

∴BC＝ME＝EF+MF＝AE+CF；

当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF+BC．

如图③，延长CD交EF于点M，

由上述证明过程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM，

又∵AB＝BC，

∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE，

∵EF∥BC，

∴∠F＝∠FCB，

∴EF＝AE，

∴AE＝FE＝FM+ME＝CF+BC；

（3）CF＝18或6，

当DE＝2AE＝6时，图①中，由（1）得：AE＝3，BC＝AB＝BD+DE+AE＝15，

∴CF＝AE+BC＝3+15＝18；

图②中，由（2）得：AE＝AD＝3，BC＝AB＝BD+AD＝9，

∴CF＝BC﹣AE＝9﹣3＝6；

图③中，DE小于AE，故不存在．

故答案为18或6．

【总结】

等腰三角形，平行线和角平分线，知二得一。

特别是与圆有关的问题里面，经常会出现类似的图形。如下图所示。