中考数学压轴题分析：共点双等边三角形

【中考真题】

（2020·黔东南）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．

探究发现

（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．

拓展运用

（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．

（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．

【分析】

题（1）典型的SAS证明全等；

题（2）如下图，得到△ADE为直角三角形，利用勾股定理代入边长即可。

题（3）本题难度也不大，关键是抽象出核心的图形。

如上图中，AC、CD的长度已知，且夹角为60°，所以形状与大小确定。

直接过点A作CD的垂线，即可得到面积与AD的长。

其实仔细一想，该三角形是不是就是特殊的30°，60°和90°的三角形呢？

取CD的中点连接也可以口算出结论。

【答案】解：（1）全等，理由是：

∵△ABC和△DCE都是等边三角形，

∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，

即∠BCD＝∠ACE，

在△BCD和△ACE中，

CD=CE，∠BCD=∠ACE，BC=AC，

∴△ACE≌△BCD（ SAS）；

（2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE，

∴BD＝AE，

∵△DCE都是等边三角形，

∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，

∵∠ADC＝30°，

∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，

在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，

∴AE=√(AD²+DE² )=√(9+4)=√13，

∴BD=√13；

（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，

∵B、C、E三点在一条直线上，

∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，

∵△ABC和△DCE都是等边三角形，

∴∠BCA＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD＝60°，

在Rt△ACF中，sin∠ACF=AF/AC，

∴AF＝AC×sin∠ACF＝1×√3/2=√3/2，

∴S△ACD=1/2×CD×AF=1/2×2×√3/2=√3/2，

∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×1/2=1/2，

FD＝CD﹣CF＝2-1/2=3/2，

在Rt△AFD中，AD²＝AF²+FD²=(√3/2 )²+(3/2 )²=3，

∴AD=√3．