中考数学压轴题分析：角平分线与比例

【中考真题】

（2020·铜仁）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD＝8，BE/CE=1/2，求CD的长．

【分析】

题（1）证明切线。有交点连圆心并证明垂直即可。本题的中的关键条件就是角相等，∠BCE＝∠BCD。

∠OCB＋∠BCD＝∠OBC＋∠BCE＝90°，结论可得。

题（2）已知AD的长，及BE与CE的比值。表面上并没有什么特别的思路。

但是其中可以抽象出一个基本图形。

由于有角的平分线，所以考虑往两边作垂线即可。

可以得到两个直角三角形相似，且相似比为1:2.那么所有边的比例关系即可得出。

那么斜边2y-x就是2x＋y的一半了。建立等量关系如下：

2（2y-x）=2x＋y

得4x=3y，即x：y=3:4。

那么设BE=x，就可以得到AD=4x+2y=20x/3=8，所以x=6/5。

那么CD=2x+y＝10x/3=4。

不过上面的思路感觉还是比较绕，主要是用了硬算的方法。

当然，还可以作平行线得到线段相等，再建立等量关系。然后得到比例关系。

刚刚是通过局部的方式，利用AD的长度求出所有线段的长度。

其实站在全局的角度去看的话，可以发现△DBC∽△DCA。进而得到

CD/AD=CB/AC=BE/CE=1/2。

这样更直接一点。

【答案】

解：（1）连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CE⊥AB，

∴∠CEB＝90°，

∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，

∴∠A＝∠ECB，

∵∠BCE＝∠BCD，

∴∠A＝∠BCD，

∵OC＝OA，

∴∠A＝∠ACO，

∴∠ACO＝∠BCD，

∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，

∴∠DCO＝90°，

∴CD是⊙O的切线；

（2）∵∠A＝∠BCE，

∴tanA=BC/AC=tan∠BCE=BE/CE=1/2，

设BC＝k，AC＝2k，

∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，

∴△ACD∽△CBD，

∴BC/AC=CD/AD=1/2，

∵AD＝8，

∴CD＝4．