中考数学压轴题分析：面积法

【中考真题】

（2020•毕节市）如图（1），大正方形的面积可以表示为（a+b）²，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a²+2ab+b²．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：

（a+b）²＝a²+2ab+b²．

把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．

（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：　 　．

（2）如图（3），Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，CH是斜边AB边上的高．用上述“面积法”求CH的长；

（3）如图（4），等腰△ABC中，AB＝AC，点O为底边BC上任意一点，OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，连接AO，用上述“面积法”求证：OM+ON＝CH．

【分析】

题（1）中其实与课本中多项式乘以多项式时的图形一样。只是把乘法进行逆运算得到因式分解，也就是

x²+5x+6＝（x+3）（x+2）。

题（2）中规定用面积法，那只能用面积法了，直角边乘积的一半与斜边及其高的乘积一半是相等的。

本题也是在学垂线、三角形的高和勾股定理的时候都会遇到的题目。中考中还是会涉及。

题（3）仍然是用面积法，可以以AB为底表示△ABC的面积，然后可以利用AO把三角形分成左右两个部分，分别求出它们的面积，然后就可以根据S△ABC＝S△ABO+S△AOC得到结论．

【答案】解：（1）如图（2），大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，

即x2+5x+6，

同时大长方形的面积也可以为（x+3）（x+2），

所以x²+5x+6＝（x+3）（x+2）；

故答案为：x²+5x+6＝（x+3）（x+2）；

（2）如图（3），Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，

∴AB=√(AC²+BC²2 )=5，

∵S△ABC=1/2AC•BC=1/2AB•CH，

∴CH=(CA⋅CB)/AB=(3×4)/5=12/5；

答：CH的长为12/5；

（3）证明：如图（4），

∵OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，

∴S△ABC＝S△ABO+S△AOC，

∴1/2AB•CH=1/2AB•OM+1/2AC•ON，

∵AB＝AC，

∴CH＝OM+ON．

即OM+ON＝CH．