中考数学压轴题分析：圆幂定理的应用

【中考真题】

（2020•荆门）如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于点B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，AB＝BE．

（1）求证：AB＝BM；

（2）若AB＝3，AD=24/5，求⊙O的半径．

【分析】

题（1），如图，易得△MAE为直角三角形，而AB=BE，可以得到一些直角三角形斜边中线的模型。

利用等角对等边即可得到AB=BM。

题（2）需要求⊙O的半径，但是发现半径或直径都没有在一个三角形里面。

所以肯定需要适当构造辅助线，这样才能解答。

但是题目给的条件AB、AD都没有什么特别的地方。因为无法直接使用求出其它的线段。

不过AB与很多线段都有等量关系，所以可以得到BM与BE的长度。

那么现在怎么办呢？

把已知线段的长度代入，易得△ABM∽△DAM，即可得到AM、AE的长度。

那么怎么求半径的长度呢？

何不直接连接OB？

设半径为r，那么利用这个黄色中的相似，即可得到半径r的长度。

当然，本题也可以连接BC，先求出直径AC的长度，那么半径就自然知道了。

【答案】解：（1）∵AP为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，

∴AP⊥AC，

∴∠CAB+∠PAB＝90°，

∴∠AMD+∠AEB＝90°，

∵AB＝BE，

∴∠AEB＝∠CAB，

∴∠AMD＝∠PAB，

∴AB＝BM．

（2）连接BC，

∵AC为直径，

∴∠ABC＝90°，

∴∠C+∠CAB＝90°，

∵∠CAB+∠PAB＝90°

∴∠C＝∠PAB，

∵∠AMD＝∠MAB，∠C＝∠D，

∴∠AMD＝∠D＝∠C，

∴AM＝AD=24/5，

∵AB＝3，AB＝BM＝BE，

∴EM＝6，

∴由勾股定理可知：AE=√(EM²-AM² )=18/5，

∵∠AMD＝∠C，∠EAM＝∠ABC＝90°，

∴△MAE∽△CBA，

∴ME/CA=AE/AB，

∴6/CA=(18/5)/3，

∴CA＝5，

∴⊙O的半径为2.5．