中考数学压轴题分析：比例关系的转化

【中考真题】

（2020•福建）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．

（1）求∠BDE的度数；

（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．

①判断DF和PF的数量关系，并证明；

②求证：EP/PF=PC/CF．

【分析】

题（1）由旋转的性质得出AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，得出∠ADE＝∠B＝45°，可求出∠BDE的度数；

题（2）①证明边相等，转化为证明△DPF中对应的两个内角相等。已知两个蓝色的角相等，只需证明两个红色的角为45°即可得到结论；

题（2）②证明成比例的四条线段是共线的，想直接证明并不容易。因此必然需要进行转化。

观察这4条线段，它们之间还是有一定关系的：

EP+PC=EC，CF+PC=PF。

因此可以考虑对原来的等式两边同时加上1，即

EP/PF+1=PF/CF+1，

两边通分，得

EF/PF=PF/CF，

竟然出现了两个PF，也就是

PF²=EF·CF，

这时候离结论就比较近了，

题①证明了PF=DF，所以直接转化为

DF²=EF·CF，

那么只需要证明△DCF∽△EDF即可。

由于

∠DEF=∠AED-45°=∠ACB-45°=∠DAC=∠CDF，

所以结论得证。

当然，也可以利用平行线分线段成比例的方式进行证明，通过构造辅助线即可。

过点P作PH∥ED交DF于点H，得出∠HPF＝∠DEP，EP/PF=DH/HF，证明△HPF≌△CDF（ASA），由全等三角形的性质得出HF＝CF，则可得出结论．

【答案】解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，

在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，

∴∠ADE＝∠B＝45°，

∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．

（2）①DF＝PF．

证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，

在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，

∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，

∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，

即∠FPD＝∠FDP，

∴DF＝PF．

②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，

∴∠HPF＝∠DEP，EP/PF=DH/HF，

∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，

∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，

∴∠DEP＝∠DAC，

又∵∠CDF＝∠DAC，

∴∠DEP＝∠CDF，

∴∠HPF＝∠CDF，

又∵FD＝FP，∠F＝∠F，

∴△HPF≌△CDF（ASA），

∴HF＝CF，

∴DH＝PC，

又∵EP/PF=DH/HF，

∴EP/PF=PC/CF．