非欧几何—人类思维和逻辑的产物

人类有别于其他动物最大的地方也许就是人类有强大的思维能力。人类的眼睛是人类最强大的器官，不过肉眼也有很大的局限性，思维加上肉眼观察才使得人类发展到今天如此强大。人类可以说能够秒灭地球上任何生物，甚至具有毁掉地球的能力，这是地球上任何生物都望尘莫及的。思维就像插上翅膀的眼睛，可以任意飞翔，具有无穷的观察力和创新能力。

非欧几何就是人类思维强大的最好例子。肉眼中的世界是没有非欧几何的，没有想象力你只能认为非欧几何是奇思怪想。

不过同时非欧几何又是逻辑推理的产物，这一点更加有点不可思议。你既要思维飞跃，又要一步一步逻辑推理，细想一下有多么难。

从第五公设和平行线的角度看，我们通过肉眼观察，似乎欧几里得把过直线外一点能且只能作一条直线的平行线当作公理没有任何问题。我们拿张白纸出来，画一条直线的平行线，你肯定能画出一条且只能画出一条平行线。你甚至不用动笔画，都会觉得不能画出，或者画出无数条平行线完全是不可能的。

在非欧几何出现之后，一个很好的解释就是我们在球面上无法画出一条直线的平行线，或者在一个鞍马面上可以画出无数条直线的平行线。但是你仔细想想，球面上或者鞍马面的线能叫直线吗？你画出的所谓无数条平行线，那还能叫平行线吗？

所以说从肉眼观察的角度，你甚至连非欧几何理解都理解不了，更不用说去发现发明它。

从另一方面讲，非欧几何是数学的一个分支，这就意味着非欧几何也是符合数学逻辑的。也就是说，在一些公理下，非欧几何的所有结论都是不矛盾的，都是通过逻辑推理得到的。这也许会给一些人造成一定的困扰。到底过直线外一点可不可以作出直线的平行线？或者说究竟过直线外一点能够作多少条直线的平行线？从数学的角度回答这两个问题，也许这样的答案比较容易叫人理解：在欧氏几何的公理下，过直线外能作而且只能作直线的一条平行线，而在非欧几何的公理下，过直线外可能作不出直线的平行线，也可能作出无数条直线的平行线。

这样的答案貌似矛盾的，其实前提条件的不同，得到的结论不同，这是我们司空见惯的情形。比如你在一栋房子里见不到太阳，但是走出大楼你可以见到一片蓝天，这就是因为你所处的环境不一样，在数学上也就是前提条件不一样。

当然，前提条件也不是可以任意更改，有些基本内容你完全不能改变，比如等于等量的量相等，这个你就不能任意改变，否则整个数学乃至科学都乱套了。科学有它的基本规则，这也是它不同于玄学的地方。

如果我们更深入地思考，欧氏几何跟非欧几何之所以可以并存，还有更深刻的意义。说一句不太精确的话，过直线外的一点还真可能画不出，或者画出多条平行线！这个要看我们在什么空间中画直线。这个有点绕，说白了，那就是非欧几何并不跟我们生活的自然界相矛盾，也不是一个只存在于人类思维想象中的理论，它是一个违背我们直观想象，但是事实存在有实例的理论。说到这一点，我们就不得不提爱因斯坦的相对论。相对论是人类第一次把非欧几何用到了实际中，得出了许多令人惊叹不已的结论，比如时光倒流，回到从前。太多的科幻电影故事描绘了这些难以想象的场景。

相对论可不是凭空想象出来的，它是在以太理论无法解释测量光速结果的基础上，由爱因斯坦大胆假设光速是不变的，没有以太这种人类想象出来的光传播媒介。在这个前提下，诞生了相对论。

光速的不变论打破了我们许多直观思维的限制。比如你如果在火车上，跟一个地面上的人相比，明显光的传播速度会不同（直观的想象是在火车上的人，火车的速度肯定会影响光的传播速度），但是按照爱因斯坦的解释，两个人观察到的光速是一样。这样的假设完美解释了当时无法解释的光速测量结果，但是同时也引出了很多非常令人困惑的结论，科学家这时不知不觉地进入了非欧几何世界。

要想去解释相对论到时光倒流，那要花很多篇幅，以后有机会再跟大家聊，这里只探讨一下相对论引起的非欧几何问题。如果把光线当作我们几何中的直线，那爱因斯坦可能是第一个科学家发现光线传播会弯曲的现象。这种弯曲可不是我们直观想象的把直线掰弯，而是由于空间弯曲造成的光线传播弯曲，一个不太准确的解释就是，空间中两个点，光走最短距离，结果是走出的一个曲线，这个所谓的曲线还符合直线的定义和公理！这完全是非欧几何研究的范畴了。

按照爱因斯坦的理论，一个东西的质量会造成空间的弯曲，质量越大，造成的弯曲就越大。我们肉眼之所以观察不到空间弯曲，是因为质量不够大，弯曲太小，可以忽略不计。

爱因斯坦打开弯曲空间这个潘多拉的盒子，也就把非欧几何带进了普通人的视野。当然大多数人都只能理解爱因斯坦给出的结论，并不能理解爱因斯坦世界的逻辑关系。物理世界现在一般可以分成三类，牛顿的现实世界，爱因斯坦的相对论世界以及更难理解的量子世界。

牛顿的世界就是我们肉眼看到的世界，速度加速度还有力主宰了这个世界。虽然微积分从某个意义讲还是脱离了肉眼看到的世界，但从总体讲，一个物体的状态在牛顿力学的范畴内还是符合我们肉眼看到的结果的。比如一辆车几点到什么地方，两艘船何时相遇，通过牛顿定律计算得到的结果是符合我们的肉眼观察。

相对论世界就跟观察基本脱钩了。从数学发展的角度看，高斯可能是第一个意识到非欧几何存在的数学家。以三角形内角和为180度（这个是由平行公设推导出来的）这个欧氏几何象征性的结论出发，高斯甚至亲自在自然界测量大三角形，想看看三角形的内角和是不是跟180度有区别。当然在高斯那个年代是不可能测出内角和不是180度的三角形。不过主要还是高斯的谨慎，才使得他没有发表他非欧几何的一些想法，人们在他去世后，在他的笔记中找到了一些非欧几何的粗略想法。最终非欧几何的推出要等罗巴切夫斯基和黎曼了。这两个伟大数学家的故事，我们就下一篇再讲了。