全面解读高考中复杂碰撞问题（四）——数列和极值思想的应用

数学思想在物理中的应用很多，尤其是数列和极值思想，今天我们还是以一道例题来说明。

(1)如图甲所示，ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC段水平，AB段与BC段平滑连接。质量为m1的小球从高为h处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC段上质量为m2的小球发生碰撞，碰撞前后两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失，求碰撞后小球m2的速度大小v2；

分析，想必大家多数人都会觉得这道题太简单了，确实是的。弹性碰撞，两个式子，速度背都背出来了。v2=2m1/(m1+m2)*v1。不再赘述。这个题目告诉我们难题的第一问不能放弃啊[耶]

(2)碰撞过程中的能量传递规律在物理学中有着广泛的应用。为了探究这一规律，我们采用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上、且无机械能损失的简化力学模型。如图乙所示，在固定光滑水平直轨道上，质量分别为m1、m2、m3、……mn-1、mn……的若干个球沿直线静止相间排列，给第1个球初动能 Ek1，从而引起各球的依次碰撞。定义其中第n个球经过一次碰撞后获得的动能Ekn与Ek1之比为第1个球对第n个球的动能传递系数k1n。

a．求k1n；

b．若m1=4m0，m3=m0，m0为确定的已知量。求m2为何值时，k13最大。

分析：文字较长的题目切记不可以心虚，抓住关键尝试去做。以本题为例，关键是什么？传递系数的定义。按照定义我们先去尝试最简单的k12、k13，然后再总结规律，一般都可以顺利解出。

显然，k12=Ek2/Ek1=½m2v2²/½m1v1²=4m1m2/（m1+m2）²

v2=2m1/(m1+m2)*v1。

k13=Ek3/Ek1=(Ek3/Ek2)*(Ek2/Ek1)，这确实有一定的技巧。

所以k1n=(Ek2/Ek1)*(Ek3/Ek2)……(Ekn/Ekn－1)=

这个数列难度不大，但写起来还是会有心虚的感觉，因为太长了，无法化简，这时候就是硬着头皮上了。

b．k13的表达式很容易就知道了，利用均值不等式或者配方等方法最值还是比较容易求的。即m2=2m0时，k13最大。这也告诉我们，有的题目跨越中间问题也可以做。但这种情况很少，只能是死马当活马医。碰运气吧。

其实有的时候，有些数列还是比较难发现规律的。比如下面这道题

雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大．现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞．已知雨滴的初始质量为m0，初速度为v0，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m1．此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m2、m3…mn…（设各质量为已知量）．不计空气阻力．

（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度vn′；

（2）若考虑重力的影响，求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和v1′；

（3）若考虑重力的影响，求第n次碰撞后雨滴的动能。

总结一下，根据定义或者现象描述逐步写等式，总结规律列数列，数学思想求极值。当然这要建立在大家运算速度要快，正确率要高，发现规律要敏锐的基础上。不可否认，有时候考的真是智商。

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