用发散性思维解读 老胡《论欧拉公式》

用发散性思维解读 老胡《论欧拉公式》 （清风科普于2021年1月5日）

在中学很多学生怕数学，怕到患有数学恐惧症。花最多时间，拿最少分数，怎么不令人心生畏惧呢？于是许多女生只因为害怕数学，纷纷逃离理科，去混文科班。偏偏文科班就业面较狭窄，千军万马过独木桥，竞争血拼更加残酷惨烈！乌呼，欲哭无泪，欲言又止，欲罢不能，欲火焚身！

然而，如果你不把数学当成 “进阶” 的敲门砖，过分地看重分数的得与失；而是把数学当成 “游戏“ 来玩耍，你将会发现在数学海洋里游弋（yì），其实趣味性绝不亚于 “魂斗罗” 打通关。

清风在前不久写过《趣谈欧拉公式与阿拉伯数字》科普文章，在《今日头条》发布，两天点击率4978人次。网名“老胡说科学”作者也在《今日头条》上发布科普文章《数学界最著名、最伟大、最美丽的公式之一：即欧拉公式》，点击率也不低，立马引起我极大兴趣。

同样都写欧拉公式，我觉得他写得比我好。我侧重于哲理趣谈，他侧重于数理分析。我是蛙跳式地蜻蜓点水，他是一步一个脚印地严谨论证。但也发现他的论证仍然不太好理解，甚至出现3个位点的科学性错误。

所以清风沿着老胡的思路，进行发散性思维和逻辑函数思维。重新把文章疏理一遍，力求论证更加严谨，逻辑思辩更加缜密，表达过程更加简洁规范。

欧拉公式，神一般地存在， 简洁的背后，并不简单。 它充满着魔幻般迷人的魅力， 其艺术价值和美学价值， 绝不逊色于断臂维纳斯。

（1）欧拉原式：e^iθ=cosθ+isinθ

左边自然常数e，

右边三角函数cos和sin，

两边都有虚数i。

（2）虚数单位：i=√-1（√表示根号）

（3）勾股定理（毕达哥拉斯定理）

a勾3，b股4，c弦5；

（4）三角函数：

①sinθ=a/c；②cosθ=b/c；

③tanθ=a/b；④ctanθ=b/a；

三角函数与直角三角形的“数图关系”。

（5）e的极限收敛：

e= 2.71828…

（6）欧拉公式推导： 当θ=π时，得：

①cosθ=0；

②isinθ=√-1×1=-1；

把①②代入欧拉原式（1）得：

③e^iπ=0 -1，变形得：

④欧拉公式：e^iπ+1=0

（数学界的维纳斯）

（7）e的指数函数：

eˣ=e・e・e…e・e・e（・表示乘号）；

（8）泰勒级数exp(x)：

把e的极限收敛（5），

代入e的指数函数（7），

得泰勒级数exp(x)：

①exp(x）=1+x¹/1！+x²/2！+x³/3！+…

②当X=1时，代入泰勒级数exp(x）得：

exp(1）

=1+1¹/1！+1²/2！+1³/3！+… =2.71828…

=e（自然常数）

结论：exp(1）= e

（9）输入乘法=输出加法：

泰勒函数最基本最神奇的性质是：输入的乘法会等于输出的加法，充满着魔性的魅力。 即：

e×p（a+b）= e×p（a）e×p（b）

举例证明等式成立：

把任意数（如3和4） 代入泰勒级数式exp(x)：

①exp (3)

=1+3¹/1！+3²/2！+3³/3！+3⁴/4！+3⁵/5！+3⁶/ 6！+3⁷/7！+3⁸/8！+3⁹/9！+… =1+3+4.5+4.5+3.375+2.025+1.0125+0.4392+0.1627+0.0542+0.0162+…（清风计算）

≈20.0855

清风分析：当分母阶乘x！>10！时，则3ˣ/x！<0.0162；如果x的整数值无限增大，则3ˣ/x！的小数值急骤收敛，趋向无穷小，小到可以忽略不计。

②e×p (4）

=1 +4¹/1！+4²/2！+4³/3！+… =1+4+8+10.6667+10.6667+8.5333+5.6889+3.2508+1.6254+0.7223+0.2890…（前10位阶乘计算）

≈54.5981

③exp (3) exp (4)

=20.0855×54.5981

= 1096.6331

④exp（3+4）

=exp（7）

=1 +7¹/1！+7²/2！+7³/3！+7⁴/4！… ≈1096.6331（各项计算过程省略）

结论：

e×p（a+b）= e×p（a）e×p（b）

即：输出加法=输入乘法，等式成立。

（10）求证：exp（1/2）=√e

已知：exp（1）=e [见（8）已证]

变形：exp（1/2+1/2）=e

则：exp（1/2）exp（1/2）=e

[见（9）已证]

结论：exp（1/2）= √e

（11）求证：exp（-1）=1/e

①exp（1）=e [见（8）已证] ②exp（0）=1 [代入泰勒级数exp(x)]

推导：exp（0）

=1 +0¹/1！+0²/2！+0³/3！+… =1+0+0+0…

=1

③导入：exp（0）=exp（1- 1）

得到：exp（0）=exp（1）exp（- 1）

变形：1=e・exp（- 1）

结论：exp（- 1）=1/e

（12）复平面的exp(i)值：

①欧拉原式：e^iθ=cosθ+isinθ

②泰勒级数：

exp（iθ）

=1+（iθ）/1！+（iθ）²/2！+（iθ）³/3！+（iθ）⁴/4！+…

③当θ = 1时，计算exp（i）的前20个元素，得到复数：0.5403 + 0.841468i。具体展示如下：

④在泰勒级数中（计算过程省略）：

有1项的exp（i）值：1

有2项的exp（i）值：1+i

有3项的exp（i）值：0.5+i

有4项的exp（i）值：

0.5 + 0.83333i

有5项的exp（i）值：

0.541666 + 0.83333i6

有6项的exp(i)值：

0.541666 + 0.841666i

有7项的exp(i)值：

0.5402777 + 0.841666i

有8项的exp(i)值：

0.5402777 + 0.841468i

有9项的exp(i)值：

0.5403025 + 0.841468i

⑤规律：随着在泰勒级数中加入越来越多项目（相），这个计算就变得越来越精确了。最后趋向于：0.5403 + 0.841468i。非常接近单位圆上的真实值。

⑥对数螺线（欧拉螺线）： 思维拓展：当θ取值1、1.5、2、2.5、3、3.5 …时，单位圆上的真实值变形成鹦鹉螺螺旋线，它越来越接近最终的指数值，我们可以用欧拉公式来验证，故称欧拉螺线，也叫对数螺线。

欧拉螺线可以很好地解释天体涡旋运动规律。例如银河系属于棒状涡旋星系，它向宇宙深隧处 “巨引源” ，以500公里/秒速度狂奔而去（供参考：人类科技所能达到的第3宇宙速度是16.7公里/秒）。银河系狂奔，走的并不是两点之间最短距离的直线，而是剑走偏锋，走的是 “S形” 大弧度的曲线。这条曲线就是欧拉螺线（对数螺线）。