怎样有实感地理解虚数

虚数是什么？通俗地说就是引入了负数平方根之后得到的数。

假设有一个数 i , i 的平方是负一，我们叫它虚数单位，或简称虚单位。

任取实数 a , b ,我们说 a+bi 是复数，只要 b 不为 0 就是虚数。

但即便这么说了，很多人还是会觉得它不真实。

谁的平方是负一？[what]虚单位 i .

那 i 到底是多少？[what]负一的平方根（之一，另一个是 -i ）。

那负一的平方根不是不存在吗？[what]我们假设它存在。

……

有的人会借助复平面来说明，乘以 i 就是旋转了 π/2 , i 的平方就旋转了 π 变成了相反的向量……然而这个说法需要复数乘法的几何意义。会更让人迷惑于为什么要给向量定义这么复杂的运算。[捂脸]

本文的目的是用一个比较实在的对象----多项式来展示复数。

实系数多项式应该是初中二年级学生可以理解的，不过这里把单项式也看作特殊的多项式，叫整式更符合初中生的习惯。

如果你觉得多项式也不实在，那就没办法了……[捂脸]

复数可以看作实系数多项式环R[x]的一种同余类。

环是什么？这里不讲细致的定义，你可以理解为能做加法、减法、乘法的集合。

R[x] 就是一个集合，里面都是以x为不定元的实系数多项式。

普通的整数可以做带余除法（能做带余除法是欧几里得环的特性），比如：

17÷5=3‧‧‧‧‧‧2，可以改写为乘法形式 17=5*3+2.

也就是给定整数 a, 正整数 b，那么有唯一一对整数 c , d 使得 a=bc+d , d大于等于0而小于b.

多项式也能做类似的事情：

给定多项式 a(x), 非0多项式 b(x)，那么有唯一一对多项式 c(x) , d(x) 使得 a(x)=b(x)c(x)+d(x) , d(x)的次数低于b(x). （0也看作特殊的多项式，为了方便，约定0多项式的次数为负无穷。）

比如a(x)=x^2+x+1 , b(x)=x^2+1 , 那么 c(x)=1 , d(x)=x.

x^2+x+1=(x^2+1)*1+x

取定一个 b(x), 如果两个多项式 a1(x) , a2(x)分别除以 b(x)得到的 d1(x) 和 d2(x) 相等，我们就说它们模b(x)同余。

也可以换一个表述 a1(x) - a2(x) 能被 b(x) 整除，也就是存在某个p(x)使得：

a1(x) - a2(x) = b(x) * p(x)

我们取b(x)=x^2+1，可能的余式d(x)一定是常数或一次多项式。

也就是，任何实系数多项式 f(x) 在模 x^2+1 之下总和某个px+q 是同余的。

要想得到最低次数的余式，只要把 f(x) 中每个高于2次的项按照把 x^2替换为-1即可。

特别地，x^2 与 -1 在模 x^2+1 之下同余。

在整数的情况，我们按2同余，可以把整数分为奇数和偶数，将日历按7同余可以得到星期几。

而实系数多项式环 R[x] 在模 x^2+1 之下的同余类集，就是复数集。

虚单位 i 就是 x 模 x^2+1 之下的同余类。

有人可能有疑惑，x 是什么？能不能换成y,z,w……呢？

x是为了表达多项式引入的不定元，只是个脚手架的作用，当然可以换。

实系数多项式 f(x) 和 实系数多项式 f(y)、f(z)、f(w)……显然有个自然的一一对应，同余类也是一一对应的。

因此，导出的结构，本质上是一样的。

数学关心的，是这种结构。

正如1，2，3……既存在于1个苹果，2个苹果，3个苹果……的例子，也存在于1个梨，2个梨，3个梨……的例子，但它们本身与具体的苹果、梨没有特定关系。只要符合皮亚诺公理系统，都是可行的自然数集。

思考题，如果把b(x)换成别的多项式，那么相应的同余类会成怎样的结构？

（要搞明白这个问题，需要代数基本定理和分裂域的概念）