一道涉及三次方根的上海交大自主招生试题

看到一则微头条：

题目的解法已有，这里讲一下题目的背景。

一元三次方程az^3+bz^2+cz+d=0.(a不等于0）。

总可以除以a，然后换元z=w-b/3, 消去二次项。

也就是说，总可以化为：

w^3+pw+q=0.

能解这样的方程，就解决了所有的一元三次方程。

如果有w=u+v,那么

u^3+v^3+3(uv+p)(u+v)+q=0

如果uv=-p,那么上式可以化简为u^3+v^3=-q，而同时有u^3v^3=-p^3.

这样u^3和v^3可以取t^2+qt-p^3=0的两个根，代回w=u+v就解出了一元三次方程。

数学家塔塔里亚最早发现了一大类一元三次方程的解法，但当时的风气是秘而不宣，后来由卡尔丹恳求之下告知，结果卡尔丹违背承诺公开了这种方法。

塔塔里亚非常不满，于是要和卡尔丹竞赛，然而卡尔丹的学生费拉里青出于蓝而胜于蓝，结果塔塔里亚竟然败给了费拉里。

最终一元三次方程的代数求根公式冠以卡尔丹之名，而一元四次方程的代数求根公式也由费拉里给出。

回到那道自主招生题，可以看作，在方程y^3+3y-2x=0中，把x视为常数，把y按卡尔丹公式解出来得到y=y(x)，给为已知条件，想得到反函数x=x(y)，那就得重新推出原来的方程。

下面把这个出题套路延伸一下，考虑方程

x^4+x+2*y=0

展示一下费拉里公式，

虽然展示了，但是手算太累，直接丢给计算机得到四个解之一。

好了，现在可以出题了，如果上式给出了一个函数x=x(y)，那么求它的反函数y=y(x).

当然，如果你知道原来的方程，那么答案显然就是y=-1/2(x^4+x).