鸡兔同笼有什么难的？看我用9种姿势虐它

鸡兔同笼问题，是小学数学的经典问题，可以说，所有的小学生都学习过或见识过它，不少学生还为此吃尽了苦头。今天，我们就来彻底征服它。

鸡兔同笼问题也叫雉兔同笼问题，最初出现在我国古代数学巨著孙子算经，原文是这样的：今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问：雉、兔各几何？翻译成现代汉语，就是鸡、兔在同一个笼子里，上面有35个头，下面有94只脚。问：鸡、兔各多少只？

经典解法一：先易后难列表法

由于鸡和兔子的脚数不同，所以，对于不同只数的鸡和兔子，虽然它们的总数相等（都等于35只），但是脚数是变化的，我们将不同组合下的鸡和兔子的脚数分别列出来，以表格的形式展示如下：

列表的时候，我们先假设鸡有35只，那么兔子就只能是0只，这样算出总的脚数，然后将鸡的只数递减，兔子的只数递增，依次计算出总的脚数，最终能够计算出当鸡有23只，兔子有12只时，总脚数等于94只，符合题目中的条件，进而得到最终的结果。

很多学生和家长对这种方法不屑一顾，觉得既笨拙又麻烦，优博数学倒是认为，对于小学低年级的学生而言，这种方法是最值得推荐的方法，因为在制作表格的过程中，学生需要自主的去探索鸡、兔数量变化时，总脚数的变化特点，通过动手以及观察，得出兔子的脚比鸡多两只，所以当鸡数少1，兔数多1的时候，总脚数会增加2只的规律性认识。而这正是培养学生探索精神，提升学生数学思维的重要途径。

经典解法二：灵机一动假设法

鸡兔同笼问题的难点在于每只鸡和每只兔子的脚数是不同的，如果鸡和兔子的脚数相同的话，就会给解题带来极大的便利，基于这样的考虑，我们可以做如下的假设。

假设一：所有兔子都站起来，藏起2只脚。这样的话，每只鸡和每只兔子的脚数就相等了，都是2只，在这种情况下，一共有35个头，也就是说一共有35只动物，每个动物有2只脚，那么总的脚数=35 2=70只，这比题目给出的94只脚少了24只，想一想为什么少了？因为每只兔子都站了起来，收起了2只脚，一只兔子少2只脚，一共少了24只脚，所以兔子有24 2=12只。再用35-12=23就是鸡的数量。

假设二：所有鸡增加2只脚。这样的话，每只鸡和每只兔子的脚数就相等了，都是4只，在这种情况下，一共有35个头，也就是说一共有35只动物，每个动物有4只脚，那么总的脚数=35 =140只，这比题目给出的94只脚多了46只，想一想为什么多了呢？因为每只鸡都多了2只脚，一只鸡多2只脚，一共多了46只脚，所以鸡有46 2=23只。再用35-23=12就是兔子数量。

优博数学认为，假设法是最为经典，也是最有效率的一种方法，学生运用假设，将不同的情形（鸡和兔子的脚数不同）转化成相同的情形，有利于简化问题，理清思路，极力推荐这种方法。

经典解法三：公平交换代换法

我们还可以用一二年级时学到的变量代换的方法求解鸡兔同笼问题。用△ 表示鸡，用○表示兔子。根据题意我们知道，△+○=35，2△+4○=94。从第一个式子我们可以得到

△=35-○把这个△带入第二个式子，得到70-2○+4○=94，这样就可以得到

○=12，进而得到△=23。

这种方法也是优博数学极力推荐的，因为这种方法虽然只是用到了一二年级的知识，但实质上却是方程思想的初步应用，是设未知数求解问题的雏形，这道题中，我们分别用△和○代表鸡和兔子，本质上就是一种数学抽象，对提升学生的分析归纳问题能力有非常好的作用和效果。

经典解法四：一目了然图形法

我们用图形的方法来解决鸡兔同笼问题！

先画出两条线段，分别代表鸡的数量和兔子的数量

我们知道，一只鸡2只脚，一只兔子4只脚，我们在上图的基础上，向外拓展一下，形成下面的图形。

可见，蓝色区域的面积等于鸡×2，即鸡的脚数，红色区域的面积等于兔×4，即兔子的脚数。

这里边有一个条件我们不要忽略了，那就是鸡和兔子的数量一共是35只。这样我们可以构建出下面的图形。

从上图中可以计算出35×4=140，是整个图形的面积，从上面的分析中可以知道，多出来的阴影部分面积应该等于140-94=46，而这个长方形的宽=4-2=2，那么长就应该等于46÷2=23，也就是鸡的数量，进而我们可以得出兔子的数量是35-23=12只。

这种方法也是优博数学比较推荐的，并不是说它计算的更快，更加便捷，而是这种方法为我们拓宽了求解鸡兔同笼问题的视野，使我们从呆板单一的数字运算中，愉快地过渡到图形的世界之中，对于启发学生的数形结合思想，激发学生的创造力非常有帮助。

经典解法五：简单粗暴设x

设鸡有x只，因为鸡和兔子一共有35只，那么兔子就有35-x只，根据题意，一只鸡2只脚，所以鸡的脚数是2x只，一只兔子4只脚，所以兔子的脚数是4×(35-x)，我们知道总脚数是94只，所以可以列出下面的算式：

2x+(35-x)×4=94，解出x=23，即鸡有23只，所以兔子是12只。

对于高年级的学生，优博数学极力推荐此法，可以这么说，对于高年级的学生，设未知数的方法是首选的方法。因为设未知数列方程的方法既是最快的又是最简洁的，长期运用方程思想求解实际问题，对于提升学生的问题抽象能力有非常大的帮助。不过对于低年级的学生，优博数学认为还是慎重地向他们讲述此种方法，因为过早的学习方程解法，一方面对于低年级的学生来说，他们的认知水平有限，会造成他们的认知困扰，另一方面，如果他们能够理解并熟练掌握此种方法，一定会放弃其他的方法，这对于培养他们的探索能力、数形结合能力、分析归纳能力来说，简直就是个灾难！

经典解法六：可爱乖萌的金鸡独立法

一只鸡2只脚，一只兔子4只脚，我们让它们的脚数都减少一半，也就是让鸡单脚着地，来一个金鸡独立，让兔子前肢收齐，两个后腿撑地，像下图那样。

这时，它们总的脚数应该是最初时的一半，即94÷2=47只。我们注意观察一下，此时，一只鸡有1只脚，头脚是一一对应的，一只兔子有2只脚，每只兔子的脚数比头数多1个。现在的情况是一共35个头，46只脚，鸡是头脚一一对应不多的，多出来的脚都是兔子的，所以有兔子47-35=12只，知道了兔子的只数，很容易就算出鸡的只数是23只了。

优博数学认为，这种方法从表面上看和假设法十分相似，但仔细分析发现，这种方法的妙处在于通过金鸡独立，鸡的头数和脚数一一对应了，一个头对应一只脚，那么多出来的脚就是兔子的了。因此，这种方法告诉我们一种解题思路：将其中一个动物的头脚数做到一比一，这样，总脚数与总头数之差就是另一个动物的脚数与头数之差，在这种情况下，问题得到了简化，直接可以算出另一个动物的只数。

经典解法七：滑稽搞笑的吹哨法

听口令：抬起一只脚！这时，鸡展示了它金鸡独立的功夫，兔子则蹑手蹑脚的抬起了一只脚。

此时，每个动物都少了一只脚，一共有35个动物，就是少了35只脚，现在的总脚数是94-35=59只。听口令：再抬起一只脚！这时，鸡整个蹲了下来，兔子则是两只后腿着地，如图所示：

此时，总脚数=59-35=24，注意观察我们发现，鸡已经没有脚了，也就是说剩下的24只脚都是兔子的，我们看图，现在的兔子有2只脚，一共24只脚，那么兔子就应该有24÷2=12只，那么，鸡就是35-12=23只。

对这种解法，优博数学只能说，在下实在佩服！这种解法的妙处就在于通过两次吹哨，把鸡的腿变没了，彻底把题目简化成兔子的头脚问题，这种思路非常值得大家学习。

经典解法八：插翅难飞法

一只鸡2只脚，一只兔子4只脚，但是鸡会飞啊，来一个大鹏展翅。

我们再来看，一只鸡2脚2翅，也算是凑足了四肢了，这样，35个动物，每个动物都是四肢，一共有35×4=140，比题目中的94只脚多了46，这46就是展开的翅膀，我们知道一只鸡2只翅膀，所以46只翅膀就是46÷2=23只鸡，兔子就是35-23=12只。

这种解法本质上是假设法的一种变形，不过运用图形和想象，有助于学生更好地理解。

经典解法九：调转乾坤平均法

出于对求解题目计算的简化，我们把题目稍作修改，鸡兔共有20个头，共有50只脚。我们来看如何用平均法求解。

一只鸡2只脚，一只兔子4只脚，那么它们混合在一起，平均一个动物的脚数应该是大于2小于4的。从题目中我们可以看出，20个头，50只脚，平均下来一个动物2.5只脚（这是什么怪物？！）我们用线来表示如下:

我们把一只鸡2只脚，一只兔子4只脚也标记在线上。

从上图中可以看出，一只兔子的脚数比平均数多了1.5只，一只鸡的脚数比平均数少了0.5只，我们可以这么理解，一只兔子比平均数多出的1.5只脚，需要3只鸡来“拉平”，即一只兔子配3只鸡，可以配出2.5只脚的效果，这样，我们把动物一共分成4份，鸡占了3份，兔子占了1份。鸡就是20×¾=15只，兔子就是20×¼=5只。

对于学有余力的同学，优博数学极力推荐用这种方法思考鸡兔同笼问题。因为这种方法把鸡兔同笼问题和平均数问题联系在一起，而且对于提高对平均数的理解大有好处。不过这种方法由于涉及到各项占比的情况，所以对题目中数字的要求较高，计算的时候需要格外注意。