找准切入点和角度，简便解决这道中考数学填空压轴规律题

这是一道中考数学填空的压轴题，聪明的你先看看自己能不能解决，不要先看答案。老黄的目的是分享，并且尽可能把问题说透，关键是帮助有困难的小伙伴掌握这里面的知识和方法，并非显示自己有多能，所以如果出现一些小疏漏有时也难免，好心的指正一下，谢谢！

如图, ∠BOC=9⁰, 点A在OB上, 且OA=1, 按照以下要求画图：以A为圆心, 1为半径向右画弧交OC于A1, 得到第1条线段AA1；再以A1为圆心, 1为半径向右画弧交OB于点A2, 得到第2条线段A1A2；再以A2为圆心, 1为半径向右画弧交OC于点A3, 得到第3条线段A2A3……如此画下去，直到第n条线段，以后就不能再画出符合要求的线段了, 则n=___.

问题的关键是怎么理解“以后就不能再画出符合要求的线段了”这句话。这里至少有两种理解方式。(当然方法不只两种，希望聪明的你能够提供更好的方法)

首先观察图形，可以发现图中有一系列的等腰三角形，只要形成的底角不小于90度，就无法形成这样的等腰三角形，根据这一点就可以解决这个问题。

另外一种理解方式是当所作的弧与射线OC或OB没有交点时，就不能画出符合要求的线段。没有交点指的是最后一个等腰三角形的高与OC或OB相切或相离。

上面两种方法都是基于图中等腰三角形的底角来探究的，因为高等底角的正弦与半径的积。一个等腰三角形左侧的底角，其实也是前面一个等腰三角形的外角，继续老黄的探究，发现用外角来分析会比用底角来分析方便一点。

为了描述方便，可以分别记△AOA1, △A1OA2, …, △An-1OAn的外角为∠1,∠2,…∠n, 根据“三角形的外角等于不相邻的两个内角的和”, 有以及“等腰三角形底角相等”的性质，就有

∠1=2∠BOC, ∠2=∠1+∠BOC=3∠BOC, …,∠n=(n+1)∠BOC=9(n+1)度.

现在如果用第一种方法，就只要9(n+1)度大于或等于90度，就无法再画出符合要求的线段了，而此时n的最小值是9，就是答案。

如果用第二种方法，就只要sin9(n+1)⁰不小于1，即半径与外角的正弦积不小于半径，必须明白式子的原理，数据改变了才能应变，而不是死记式子，那样是没用的。同样可以知道当n取最小值9时，就无法再画出符合条件的线段了。

这道题得亏是填空题，如果是解答题，想要用几何的方法讲明白，还真不是一件容易的事情哦。

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