在上2篇文章《《几何原本》-平面几何基础(2)-定义、公设、公理,命题1~命题16》、《《几何原本》-平面几何基础(3)-命题17~命题32》中,我对命题1~命题32的证明过程进行了讲解,这一讲我们继续命题33~命题48的讲解。
这里我重点介绍命题47,命题47是平面几何基础中最重要的一条命题。说它重要,是因为它对大名鼎鼎的勾股定理进行了证明,而这也是今天我们能够看到最早关于勾股定理的证明方法。勾股定理导致了无理数的发现,并对数学发展历程产生了重大影响,在《勾股定理引发的第一次数学危机》中,我对勾股定理是如何一步一步证明无理数存在的,进行了详细介绍,大家如果感兴趣,可以回头去看这篇文章。
为了证明命题47(勾股定理),欧几里得需要用到命题4、命题14、命题31、命题41、命题46的结论。这一讲,我们依旧按顺序讲解命题33-命题48。
已知直线AB平行于CD,且AB=CD。AC、BD是同一方向连接它们的线段。
目标:证明AC平行于BD,且AC=BD。
证明:
1、连接BC,因为AB平行于CD,所以内错角ABC=角DCB。(命题29)
2、又AB=CD,BC=CB,角ABC=角DCB,所以三角形ABC与三角形DCB全等,AC=DB,角ACB=角DBC。(命题4)
3、又因为角ACB与角DBC是内错角且相等,所以AC平行于BD。(命题27)
证明完毕。
已知ACDB是平行四边形,BC是对角线。
证明:
1、因为ACDB是平行四边形,所以AB=CD,AC=BD,角A=角D。(定义22)
2、于是三角形ABC与三角形DCB全等(命题4)。
3、所以对角线CB平分平行四边形ACDB。
证明完毕。
已知平行四边形ABCD和BCFE,它们有共同的底边BC且在相同平行线BC、AF之间。
目标:证明平行四边形ABCD和BCFE面积相等。
证明:
1、因为ABCD是平行四边形,所以BC=AD。(命题34)
2、同理BC=EF,所以AD=EF,进而AE=DF。
3、因为ABCD是平行四边形,所以AB=CD,角A=角BCD。(命题34)
4、又BC与AF平行,所以内错角BCD=角CDF(命题27)。于是角A=角CDF。
5、于是在三角形ABE与三角形DCF中,角A=角CDF,AB=CD,AE=DF,所以三角形ABE与三角形DCF全等。(命题4)
6、两三角形同时减去三角形DEG,于是四边形ABGD与四边形EGCF面积相等。
7、两四边形再同时加上三角形BCG,于是平行四边形ABCD和BCFE面积相等。
证明完毕。
已知平行四边形ABCD与EFGH在平行线BG、AH之间,且底边BC=FG。
目标:证明平行四边形ABCD与EFGH面积相等。
证明:
1、连接BE、CH。
2、因为EFGH是平行四边形,所以FG=EH。(命题34)
3、又BC=FG,所以BC=EH。
4、又AH平行于BG,BC=EH,所以EB平行于HC,EB=HC。(命题33)
5、因为AH平行于BG,BE平行于CH,于是角HCG=角EBG,角HCG=角AHC,所以角EBG=角AHC。(命题29)同理,角AEB=角HCG。
6、又角AEB+角HEB=两直角和,角HCG+角BCH=两直角和(命题13),角AEB=角HCG,所以角HEB=角BCH。
7、于是在四边形EBCH中,EH=BC,EB=HC,角EBG=角AHC,角HEB=角BCH,所以EBCH是平行四边形。(定义22)
8、因为平行四边形EBCH与平行四边形EFGH共底边EH,且在平行线AH、BG间,所以平行四边形EBCH与EFGH面积相等。(命题35)
9、同理平行四边形EBCH与ABCD面积相等,所以平行四边形ABCD与EFGH面积相等。
证明完毕。
已知三角形ABC、BCD有公共边BC,且两三角形在平行线AD、BC之间。
目标:证明三角形ABC、BCD面积相等。
证明:
1、直线AD向两端分别延申至E、F,过点B作直线BE平行于AC,过点C作直线CF平行于BD。(命题31)
2、因为AE平行于BC,BE平行于CA,所以内错角ABC=角BAE,内错角CAB=角EBA。(命题29)所以角EAC=角EBC。
3、又AB=BA,于是三角形EAB与三角形CBA全等,AE=BC,EB=AC,角E=角ACB。(命题26)
4、又角EAC=角EBC,所以四边形EBCA是平行四边形。(定义22)同理,BCFD是平行四边形。
5、于是平行四边形EBCA、BCFD面积相等。(命题35)
6、又三角形ABC、BDC面积分别为平行四边形EBCA、BCFD面积的一半(命题34),所以三角形ABC、BDC面积相等。
证明完毕。
已知三角形ABC、DEF在平行线BF、AD之间,BC=EF。
目标:证明三角形ABC、DEF彼此面积相等。
证明:
1、延长AD两端分别至G、H,过点B作AC的平行线BG,过点F作ED的平行线FH。(命题31)
2、因为GH平行于BF,AC平行于GB,DE平行于HF,所以四边形GBCA、DEFH是平行四边形。
3、又BC=EF,GH平行BF,所以平行四边形GBCA、DEFH面积相等。(命题36)
4、又AB、DF二等分平行四边形GBCA、DEFH面积。(命题34)
5、所以三角形ABC、DEF彼此面积相等。
证明完毕。
已知三角形ABC、DCB面积相等,BC是公共边,且两个三角形在BC的同一侧。
目标:证明三角形ABC、DCB在相同的平行线之间。
证明:
1、连接AD。
2、假设AD不平行于BC,过点A作AE平行于BC,并与BD相交于E。(命题31)
3、连接EC,因为三角形ABC与三角形EBC有公共底边BC,且在相同的平行线之间,所以三角形ABC与三角形EBC面积相等。(命题37)
4、又三角形ABC、DCB面积相等,所以三角形EBC、DCB面积相等。
5、而三角形EBC、DCB面积不相等,因此假设不成立,所以AD平行于BC。
6、所以三角形ABC、DCB在相同的平行线AD、BC之间。
证明完毕。
说明:该命题的证明,作者采用先假设命题的对立结论成立,然后得出矛盾的方法,证明假设错误,命题正确。本卷中,作者多次采用假设法进行证明,思想新颖。
已知三角形ABC和三角形CDE面积相等,底边BC=CE,两个三角形在BE同一侧。
目标:证明三角形ABC、CDE在相同的平行线之间。
证明:
1、连接AD。
2、假设AD不与BC平行,过点A作AF平行于BE,并与BD相交于F。(命题31)
3、连接EF,因为三角形ABC与三角形CEF底边BC=CE,且在相同的平行线之间,所以三角形ABC与三角形CEF面积相等。(命题38)
4、又三角形ABC、DCE面积相等,所以三角形CEF、DCE面积相等。
5、而三角形CEF、DCE面积不相等,因此假设不成立,于是AD平行于BE。
6、所以三角形ABC、CDE在相同的平行线AD、BE之间。
证明完毕。
说明:该命题的证明,作者采用先假设命题的对立结论成立,然后得出矛盾的方法,证明假设错误,命题正确。本卷中,作者多次采用假设法进行证明,思想新颖。
已知平行四边形ABCD与三角形EBC有公共边BC,且在平行线BC和AE之间。
目标:证明平行四边形ABCD面积是三角形EBC面积的二倍。
证明:
1、连接AC。因为三角形ABC、BCE有公共底边BC,又在平行线AE、BC之间,所以三角形ABC、BCE面积相等。(命题37)
2、又AC二等分平行四边形ABCD。(命题34)所以三角形ABC面积是平行四边形ABCD面积的一半。
3、所以平行四边形ABCD面积是三角形EBC面积的2倍。
证明完毕。
已知角D以及三角形ABC。
目标:在角D基础上作一个平行四边形,且该平行四边形面积与三角形ABC面积相等。
证明:
1、作BC的二等分点E。(命题10)
2、连接AE,以E为顶点,作以EC为边的角CEF=角D。(命题23)
3、过点A作AG平行于EC。(命题31)过点C作CG平行于EF。(命题31)
4、因为BE=EC,AG平行于BC,所以三角形ABE与AEC面积相等。(命题38)
5、所以三角形ABC面积是三角形AEC面积的2倍。
6、又三角形AEC与平行四边形FECG共底EC,且在平行线AG、BC之间,所以平行四边形FECG面积是三角形AEC面积的2倍。(命题41)
7、所以平行四边形FECG与三角形ABC面积相等。
证明完毕。
已知ABCD是平行四边形,连接AC,取AB上任一点E,过点E作EF平行于AD,EF与AC交于K。过点K作GH平行于AB,GH与AB、BC相交于H、G。
目标:证明平行四边形HKFD与EBGK面积相等。
证明:
1、在平行四边形ABCD中,AC是对角线,所以三角形ABC与ACD面积相等。(命题34)
2、又AB平行HG,AD平行EF,所以AEKH是平行四边形。
3、又AK是对角线,所以三角形AEK与AHK面积相等。(命题34)
4、同理,三角形KGC与KFC面积相等。
5、所以补形HKFD与EBGK面积相等。
证明完毕。
已知AB是给定直线,C是给定三角形,D是给定直线角。
目标:利用已知直线AB、给定三角形C、给定直线角D,作面积等于三角形C的平行四边形。
证明:
1、过已知直线AB端点B作平行四边形BEHG,且BE在直线AE上,角EBG=已知角D,平行四边形面积等于已知三角形C。(命题42)
2、延长FG至H,过点A作AH平行于BG。(命题31)
3、连接HB。延长HB、FE相交于点K。
4、过点K作KL平行于FH(命题31),并与GB、HA延长线分别相交于点M、L。
5、所以FHLK、GHAB、EBMK是平行四边形。
6、又HK、HB、BK共线,且是上述三个平行四边形的对角线。
7、所以平行四边形BALM与FGBE互为补形,且面积相等。(命题43)
8、又对顶角GBE=角ABM(命题15),角GBE=已知角D,所以角ABM=已知角D。
9、又平行四边形FGBE面积等于已知三角形C,所以平行四边形BALM面积等于已知三角形C。
10、又已知线段AB是平行四边形BALM的边,所以平行四边形BALM符合我们目标。
证明完毕。
已知ABCD是给定直线图形,E是给定直线角。
目标:用已知角E作平行四边形,且该平行四边形面积等于直线图形ABCD。
证明:
1、连接BD,作平行四边形FKHG,使其面积等于三角形ABD,且角HKF等于已知角E。(命题42)
2、在线段GH上作平行四边形GHML,使其面积等于三角形DBC,且角GHM等于已知角E。(命题44)
3、因为角HKF=角E,角GHM=角E,所以角HKF=角GHM。
4、又FKHG是平行四边形,所以FK平行GH,角HKF+角GHK=两直角和。(命题29)
5、又角HKF=角GHM,于是角GHM+角GHK=两直角和,因此KH、HM共线。(命题14)
6、于是KM平行FG,所以角GHM=角FGH。(命题29)
7、又HMLG是平行四边形,所以HM平行GL,角GHM+角HGL=两直角和。(命题29)
8、于是角FGH+角HGL=两直角和,因此FG、GL共线。(命题14)
9、因为FK平行且等于GH,GH平行且等于LM。(命题34)所以FK平行且等于LM。(命题30)
10、所以FL平行且等于KM(命题33),所以FKML是平行四边形。
11、又平行四边形FKHG面积等于三角形ABD,平行四边形GHML面积等于三角形DBC,所以平行四边形FKML面积等于直线图形ABCD。
证明完毕。
已知AB是给定线段。
目标:以AB为边作正方形。
证明:
1、过线段AB上点A作AC垂直于AB。(命题11)
2、取AD=AB。(命题3)
3、过点D作DE平行于AB。(命题31)过点B作BE平行于AD。(命题31)
4、所以ABED是平行四边形,所以AB=DE,AD=BE。(命题34)
5、又AB=AD,所以AB=DE=AD=BE。
6、因为AC垂直AB,所以角A是直角。
7、因为ABED是平行四边形,所以角E=角A,角E是直角。(命题34)
8、因为AB平行DE,所以角A+角ADE=两直角和。(命题29)
9、因为角A是直角,所以角ADE是直角。
10、又角B=角ADE。(命题34)因为角ADE是直角,所以角B是直角。
11、于是平行四边形ABED四边相等,四个都是直角,因此ABED是正方形。(定义22)
证明完毕。
已知三角形ABC,角BAC是直角。
目标:证明以BC为边的正方形面积等于以BA、AC为边的正方形面积的和。
证明:
1、以AB、AC、BC为边做正方形ABFG、ACKH、BCED。(命题46)
2、过点A作AL平行于BD。(命题31)
3、连接AD、FC。
4、因为BAC、BAG为直角,所以AC、AG共线。(命题14)
5、同理,AB、AH共线。
6、因为角DBC=角FBA,角ABC=角CBA,所以角ABD=角FBC。
7、又BD=BC,AB=BF,所以三角形ABD与三角形FBC全等。(命题4)
8、因为三角形ABD与平行四边形BDLI共底BD,且在平行线BD、AL之间,所以平行四边形BDLI面积是三角形ABD面积的2倍。(命题41)
9、又因为三角形FBC与平行四边形FBAG共底FB,且在平行线FB、GC之间,所以平行四边形FBAG面积是三角形FBC面积的2倍。(命题41)
10、因此平行四边形BDLI面积等于平行四边形FBAG。
11、连接BK、AE。同理,平行四边形ILEC面积等于平行四边形ACKH。
12、所以正方形BDEC的面积等于正方形GFBA、ACKH面积之和。
所以以BC为边的正方形面积等于以BA、AC为边的正方形面积的和。
证明完毕。
说明:本命题就是大名鼎鼎的勾股定理。
已知三角形ABC,且以BC为边的正方形面积等于以AB、AC为边的正方形面积和。
目标:证明角BAC是直角。
证明:
1、过点A作AD垂直于AC(命题11),且AD=AB(命题3)。
2、连接DC,因为角CAD是直角,所以以CD为边的正方形面积等于以DA、AC为边的正方形面积之和。(命题47)
3、又AD=AB,所以以CD为边的正方形面积等于以AB、AC为边的正方形面积之和。
4、又以BC为边的正方形面积等于以AB、AC为边的正方形面积和。
5、所以BC=CD,又CA=CA,AB=AD,所以角CAB=角CAD=直角。(命题8)
证明完毕。
说明:本命题是勾股定理的逆命题。
好了,今天的讲解就到这里了。
后面我带着大家继续学习《几何原本》
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我将带着大家学习科学大家的原著。
页面更新:2024-04-07
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