在前两篇文章《《几何原本》-与圆有关的平面几何（1）》、《《几何原本》-与圆有关的平面几何（2）-命题7~命题15的证明过程》中，我对《几何原本》第3卷命题1-命题15是如何证明的进行了讲解。

这一讲我继续进行命题16~命题22的讲解，命题16~命题22中很多命题其实大家都学过，如“如果一条直线与圆相切，那么连接圆心和切点的直线垂直于切线”、“在一个圆内，同弧上的圆心角是圆周角的二倍”、“圆的内接四边形的对角和等于两直角和”。

这些命题的证明基本都使用了假设法，好了，接下来让我们一起来看看欧几里得是如何证明这些命题的。

命题16：过圆的直径的端点作一条直线与直径成直角，则该直线落在圆外，又，在这个平面上这条直线与圆周之间无法插入另一条直线，且半圆角大于任何锐直线角，余下的角小于任何锐直线角。

已知在圆ABC中，点D是圆心，AB是直径。

目标1：证明过点A与AB成直角的直线落在圆外。

证明：

1、过点A作AC与AB成直角，假设AC落在圆内,与圆相交于C，连接DC。

2、因为点D是圆心，所以DC=DA，角DAC=角DCA。（第1卷 命题5）

3、因为角DAC=直角，所以角DAC+角DCA=两直角，这是不可能的。（第1卷 命题17）

4、因此假设不成立，所以过点A的直线与BA成直角，不会落在圆内。

目标2：过点A作AB的垂线AE，证明在这个平面内，AE与圆之间无法再插入其他直线。

5、假设AE与圆之间能插入直线FA。

6、过点D作DG垂直于FA，且DG与圆、FA分别交于点C、G。

7、于是角AGD=直角，又角DAG<直角，所以AD>DG。（第1卷 命题19）

8、又DA=DC，所以DC>DG。

9、又假设AF在线段AE与圆之间，所以AF在圆外，于是点G也在圆外。

10、所以DCDG矛盾，因此假设不成立，即AE与圆之间无法再插入其他直线。

目标3：证明弦BA与圆周BCA所夹的半圆角大于任何锐直线角，余下的由圆周BCA与直线AE所包含的角小于锐直线角。

11、假设有一个直线角大于直线BA与圆周BCA所包含的角，而且有一个直线角小于圆周CHA与直线AE所包含的角。

12、那么在直线AE与圆之间可以插入直线包含这样的角。

13、但是前面已经证明不存在这样的直线，因此假设不成立。

14、即不存在一个直线角大于直线BA与圆周BCA所包含的角，而且有一个直线角小于圆周CHA与直线AE所包含的角。

证明完毕。

说明：本命题的证明使用了假设法。

目标3的证明过程，有极限的思想。

命题17：过给定点作已知圆的切线。

已知A是给定点，BCD是已知圆。

目标：过点A作一条直线与圆BCD相切。

证明：

1、设E为圆BCD的圆心。（第3卷 命题1）

2、连接AE，与圆BCD相交于点D。以E为圆心，EA为半径作圆AFG。

3、过D作DF与EA成直角，DF与圆AFG相交于点F。（第1卷 命题11）

4、连接EF和AB。

5、因为点E是圆BCD、AFG的圆心，所以ED=EB，EA=EF。

6、又角E是公共角，所以三角形DEF与三角形BEA全等。（第1卷 命题4推论）

7、所以角ABE=角FDE=直角。

8、又EB是半径，过圆的直径的端点的直线与该直径成直角，该直线与圆相切（第3卷 命题16推论），所以AB与圆BCD相切。

证明完毕。

命题18：如果一条直线与圆相切，那么连接圆心和切点的直线垂直于切线。

已知直线DE与圆ABC相切于点C，圆ABC的圆心为F（第3卷 命题1），连接FC。

目标：证明FC垂直于DE。

证明：

1、假设FC与DE不垂直。

2、过点F作FG垂直DE于点G。（第1卷 命题12）

3、因为角FGC是直角，所以角FCG是锐角。（第1卷 命题17）

4、因为大角对大边（第1卷 命题19），所以FC>FG。

5、又FC=FB，所以FB>FG，即小的大于大的，而这是不可能的。

6、因此假设不成立，所以FC与DE垂直。

证明完毕。

说明：本命题的证明使用了假设法。

命题19：如果一条直线与圆相切，那么过切点作与切线成直角的直线，必经过圆心。

已知直线DE与圆ABC相切于点C。过点C作CA，使其与DE成直角。（第1卷 命题11）

目标：证明圆心在AC上。

证明：

1、假设圆心不在AC上，设F为圆心，连接CF。

2、因为DE与圆ABC相切于C，FC是圆心与切点的连线，所以FC垂直于DE。（第3卷 命题18）

3、于是角FCE是直角。

4、又角ACE也是直角，所以角FCE=角ACE，即较小角等于较大角，这是不可能的。

5、因此假设不成立，所以圆心在FC上。

证明完毕。

说明：本命题的证明使用了假设法。

命题20：在一个圆内，同弧上的圆心角是圆周角的二倍。

已知ABC是一个圆，角BEC是圆心角，角BAC是圆周角，它们有一个以BC作底边的弧。

目标：证明角BEC是角BAC的二倍。

证明：

情形一：点E在ABC内。

1、连接AE并延长与圆ABC相交于点F。

2、因为EA=EB，所以角EAB=角EBA。（第1卷 命题5）

3、又角BEF=角EAB+角EBA。（第1卷 命题32）

4、所以角BEF=角EAB的二倍，同理角CEF=角EAC的二倍。

5、因此，角BEC=角BAC的二倍。

情形二：点E在ABC外。

6、连接AE并延长与圆ABC相交于点G。

7、因为EA=EB，所以角EAB=角EBA。（第1卷 命题5）

8、又角GEB=角EAB+角EBA。（第1卷 命题32）

9、所以角GEB=角EAB的二倍，同理角GEC=角EAC的二倍。

10、因此，剩余的角BEC=角BAC的二倍。

证明完毕。

命题21：在一个圆内，同一弓形上的角彼此相等。

已知ABCD是一个圆，角BAD和角BED在同一弓形BAED上。

目标：证明角BAD=角BED。

证明：

1、设圆ABCD的圆心为点F。（第3卷 命题1）

2、连接FB、FD。

3、因为角BFD是圆心角，角BAD是圆周角，且它们有相同的弧BCD，所以角BFD=角BAD的二倍。（第3卷 命题20）

4、同理，角BFD=角BED的二倍。

5、所以角BAD=角BED。

证明完毕。

命题22：圆的内接四边形的对角和等于两直角和。

已知ABCD是一个圆，ABCD是圆的内接四边形。

目标：证明四边形的对角和等于两直角和。

证明：

1、连接AC、BD。

2、因为三角形的三个角的和等于两直角和（第1卷 命题32），所以在三角形ABC中，角CAB+角ABC+角BCA=两直角和。

3、由命题21的结论，可得角CAB=角BDC，角ACB=角ADB。（第3卷 命题21）

4、所以角ADC=角BAC+角ACB。

5、等式两边同时加角ABC，于是角ADC+角ABC=角BAC+角ACB+角ABC。

6、又角BAC+角ACB+角ABC=两直角和，所以角ADC+角ABC=两直角和。

7、同理，角BAD+角DCB=两直角和。

证明完毕。

好了，命题16~命题22的讲解就到这里了，下一讲，我们继续学习《几何原本》第3卷“与圆有关的平面几何”。

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