在前三篇文章《《几何原本》-与圆有关的平面几何（1）》、《《几何原本》-与圆有关的平面几何（2）-命题7~命题15的证明过程》、《《几何原本》-与圆有关的平面几何（3） 命题16~命题22的证明过程》中，我对《几何原本》第3卷命题1-命题22是如何证明的进行了讲解。

这一讲我继续进行命题23~命题30的讲解：

命题23：在同一条线段的同侧不能作两个相似且不等的弓形。

证明：

1、假设在线段AB的同侧能作出两个相似且不等的弓形ACB和ADB。

2、作直线ACD与弓形ACB、ADB分别相交于C、D，连接BC、BD。

3、因为弓形ACB与ADB相似，又相似的弓形上的角相等（第3卷 定义11），所以角ACB=角ADB。

4、又三角形外角大于任何一个内对角（第1卷 命题16），所以角ACB>角ADB。

5、于是角ACB=角ADB，且角ACB>角ADB，而这是不可能的，因此假设不成立。

6、因此在线段AB的同侧不能作出两个相似且不等的弓形ACB和ADB。

证明完毕。

说明：本命题的证明使用了假设法。

命题24：在相等线段上的相似弓形彼此相等。

已知弓形ABE、CDF相似，AB=CD。

目标：证明弓形ABE与弓形CDF相等。

证明：

1、将弓形ABE平移到CDF上，点A落在C上，线段AB落在CD上，因为AB=CD，于是点B落在点D上，AB与CD重合。

2、如果弓形ABE与CDF不重合，那么弓形ABE要么落在CDF内、要么落在CDF外，或者落在CDG的位置（如上图所示）。

3、又在同一条线段的同侧不能作两个相似且不等的弓形（第3卷 命题23），弓形ABE、CDF相似，因此弓形ABE不可能落在CDF内，也不可能落在CDF外。

4、假设弓形ABE落在CDG的位置，则弓形CDF与弓形CDG有3个交点，分别为C、D、G，而这与一个圆与另一个圆相交，交点不超过2个（第3卷 命题10 ）矛盾。

5、因此假设不成立，如果将线段AB平移到CD上，那么弓形ABE与CDF重合，并且彼此相等。（公理4）

证明完毕。

说明：本命题的证明使用了假设法。

命题25：根据给定弓形作完整的圆，则该弓形是圆中的一段。

已知ABC是给定的弓形。

目标：根据弓形ABC作出完整的圆，证明弓形ABC是圆上的一部分。

证明：

1、设D是AC的二等分点。（第1卷 命题10）

2、过点D作DB与AC成直角。（第1卷 命题11）

3、连接AB。

此时可能出现三种情况，角ABD大于、等于或小于角BAD。

情形一：角ABD>角BAD。

4、以AB为边，A为顶点，作角BAE=角ABD。（第1卷 命题23）延长BD与AE相交于点E，连接EC。

5、因为角BAE=角ABD，所以EA=EB。（第1卷 命题6）

6、因为AD=DC，DE是公共边，角ADE=角CDE=直角，所以AE=CE。（第1卷 命题4）

7、又步骤5已证明EA=EB，所以EA=EB=EC。

8、所以以EA、EB、EC中的一条为半径作圆，将过其他点，且要求作的圆也已经完成。（第3卷 命题9）

9、所以根据给定弓形ABC作的圆已经完成。此时弓形ABC小于半圆，因为圆心E在弓形外。

情形二：角ABD=角BAD。

10、因为ABD=角BAD，所以DA=DB。（第1卷 命题6）

11、又DA=DC，于是DA=DB=DC，所以点D是完整圆的圆心。（第3卷 命题9）

12、此时弓形ABC是半圆。

情形三：角ABD<角BAD。

13、以BA为边，A为顶点，作角BAE=角ABD。（第1卷 命题23）连接EC

14、因为角BAE=角ABD，所以EA=EB。（第1卷 命题6）

15、因为AD=DC，DE是公共边，角ADE=角CDE=直角，所以AE=CE。（第1卷 命题4）

16、又步骤14已证明EA=EB，所以EA=EB=EC。

17、所以以EA、EB、EC中的一条为半径作圆，将过其他点，且要求作的圆也已经完成。（第3卷 命题9）

18、此时弓形ABC大于半圆，因为圆心E在弓形内。

证明完毕。

命题26：在等圆中，相等的角无论是圆心角还是圆周角，所对的弧也彼此相等。

已知ABC和DEF是相等的圆，且圆心角BGC等于EHF，圆周角BAC等于EDF。

目标：证明弧BKC等于弧ELF。

证明：

1、连接BC、EF。

2、因为圆ABC等于圆DEF，所以它们的半径相等，于是BG=GC=HE=HF。

3、又圆心角BGC等于EHF，于是BC=EF。（第1卷 命题4）

4、又圆周角BAC等于EDF，所以弓形BAC与弓形EDF相似。（第3卷 定义11）

5、又弓形BAC与弓形EDF的弦相等，即BC=EF，所以弓形BAC等于弓形EDF。（第3卷 命题24）

6、又整个圆ABC等于DEF，所以余下的弦BKC等于ELF。

证明完毕。

命题27：在等圆中，等弧所对的圆心角或圆周角彼此相等。

已知圆ABC与圆DEF彼此相等，角BGC和EHF分别是圆心G和H处的圆心角，角BAC和EDF是圆周角，它们所对的弧BC与EF彼此相等。

目标：证明角BGC=角EHF，且角BAC=角EDF。

证明：

1、如果角BGC不等于角EHF，则有一个角较大。

2、假设BGC大，在线段BG上，以G为顶点，作角BGK=角EHF。（第1卷 命题23）

3、因为圆ABC与圆DEF彼此相等，圆心角BGK=角EHF，所以弧BK=弧EF。（第3卷 命题26）

4、又弧BC=弧EF，所以弧BK=弧BC，即小的等于大的，这是不可能的。

5、因此假设不成立，于是角BGC=角EHF。

6、又因为点A处的角是角BGC的一半，点D处的角是角EHF的一半（第3卷 命题20），因此角A=角D。

证明完毕。

说明：本命题的证明使用了假设法。

命题28：在等圆中，等弦所截的的弧相等，优弧等于优弧，劣弧等于劣弧。

已知ABC与DEF是等圆，AB和DE是两圆中的相等的弦，并将两圆截成两优弧ACB和DFE，以及两劣弧AGB和DHE。

目标：证明优弧ACB=优弧DFE，劣弧AGB=劣弧DHE。

证明：

1、设两圆圆心为K和L（第3卷 命题1）.

2、连接AK、KB、DL、LE。

3、因为圆ABC与DEF相等，所以它们的半径也相等（第3卷 定义1），于是AK=KB=DL=LE。

4、又AB=DE，所以角AKB=角DLE。（第1卷 命题8）

5、又等圆中，相等的圆心角所对的弧相等（第3卷 命题26），所以劣弧AGB=劣弧DHE。

6、又圆ABC与DEF相等，所以余下的优弧ACB=DFE。

证明完毕。

命题29：在等圆中，等弧所对的弦彼此相等。

已知ABC与DEF是等圆，设截取的弧BGC和EHF彼此相等，连接BC和EF。

目标：证明BC=EF。

证明：

1、设两圆圆心为K和L。（第3卷 命题1）

2、连接BK、KC、EL、LF。

3、因为弧BGC=弧EHF，所以角BKC=角ELF。（第3卷 命题27）

4、又ABC与DEF是等圆，所以它们的半径也相等（第3卷 定义1），于是BK=KC=LE=LF。

5、又角BKC=角ELF，所以三角形KBC与三角形LEF全等，BC=EF。（第1卷 命题4）

证明完毕。

命题30：二等分给定弧。

已知ADC是给定弧。

目标：用尺规作图，二等分弧ADC。

证明：

1、连接AB，并作其二等分点C。（第1卷 命题10）

2、过点C作CD垂直于AB，并与圆弧ADC相交于D点。（第1卷 命题11）

3、连接AD、DB。

4、因为AC=CB，CD是公共边，角ACD=角BCD=直角，所以AD=DB。（第1卷 命题4）

5、又等弦所截的的弧相等，优弧等于优弧，劣弧等于劣弧（第3卷 命题28），所以劣弧AD=劣弧DB，于是点D为弧ADB的二等分点。

证明完毕。

好了，命题23~命题30的讲解就到这里了，下一讲，我们继续学习《几何原本》第3卷“与圆有关的平面几何”最后7个命题。

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