已知圆弧求圆心的算法推导，以及ocata编程实现

今天看到一位网友发的微头条，提到了在CAD软件中大量使用的解析几何题：

已知一个圆弧的起点坐标是(X0, Y0),终点坐标是(XE,YE)，

圆弧的圆心角是 α/4(弧度)，求圆弧的圆心坐标。

网友提出的问题

我想起了几年前设计眼镜模块化软件时，

也曾经使用了诸如旋转、放缩、投影、融合等图形图像处理算法。

也曾经利用解析几何、向量、矩阵运算等知识深入研究其中的数学理论。

采用 pascal、 actionscript、 php等语言实现算法。

试戴

今天闲来无事，花点时间求解此题，活动一下大脑。

一、旋转矩阵

在笛卡尔坐标系中的某个坐标点，表示为列向量(x,y)'，其绕原点旋转得到的新坐标向量。

可以由旋转矩阵乘以原向量得到。

坐标点的旋转

逆时针旋转θ的旋转矩阵为：

旋转矩阵

二、问题解答

假设圆心坐标为(XC,YC)'， 以圆心为原点得到的圆弧起点和终点坐标可以表示为：

起点：(X0-XC,Y0-YC)'

终点：(XE-XC, YE-YC)'

终点由起点旋转α/4得到，

采用旋转矩阵表示为：

旋转矩阵表示

令

定义M(α)

移项整理之后得到：

移项整理之后的表达式

在等式的左右两边同时左乘以[E-M(α)]的逆矩阵，得到：

最终结果

然后就可以通过ocata、python、C语言等的矩阵运算函数或者库就可以轻松算出圆心坐标[XC,YC];

三 、简单示例

示例2222

如上图，起点为(2,0), 终点为(1,1)，圆弧的角度为π/2。

在octave的在线工具的https://octave-online.net/，通过矩阵运算，如下：

format long
Ma=[cos(pi/2) -sin(pi/2); sin(pi/2) cos(pi/2)];
Mb=eye(2,2)-Ma;
P0=[2;0];
PE=[1;1];
B=PE-Ma*P0;
PC=inv(Mb)*B;

算得PC=[1,0]