古巴比伦、古埃及、古印度文明中的数学起源与发展

公元前600年到前300年之间古典希腊学者的登场标志数学作为一门独立、理性的科学的开端。事实上，原始人早在公元前一万多年前就开始定居在一个地方发展农业或者畜牧业，但是直到公元前三四千年左右，古中国、巴比伦、埃及才逐渐产生了数学的萌芽。如今，古代非洲的尼罗河（埃及数学）、西亚的底格里斯河和幼发拉底河（巴比伦数学）、中南亚的印度河和恒河（印度数学）以及东亚的黄河和长江（中国数学）都位于大河流域,被默认为是数学的发源地，其他古文明甚至没有产生过数学的痕迹。下面就古巴比伦、古埃及、古印度文明中数学的起源与发展来看在数学成为独立的科学之前在各文明中已经存在哪些萌芽。

一、巴比伦数学

在古巴比伦、古埃及、古印度三个古代文明社会当中，巴比伦人先对数学主流做出了贡献。古巴比伦位于底格里斯河和幼发拉底河之间及其流域这区域在古代叫美索不达米亚，是今天伊拉克的一部分，公元前4000年左右，苏美尔人来这里定居建立起苏美尔文明，后来由于战争等因素被阿卡得文化淹没。公元前2000年左右，阿卡得人在泥版上留下的楔形文字记录了巴比伦人采用六十进位制表示整数。

最开始与古中国十进制计法一样，他们用空位表示0，公元前330年至公元前64年引入了特别的符号表示0，但是最右端仍然用空位表示，还是不能准确读出符号表示的数。他们常用分数，分数也采用60进位制。除了1/2、2/3、1/3用特别的符号表示外，他们的分数与整数符号混用，人们必须依靠文件内容才能准确读数，而且他们的分数是等同于整数一样的整体，并没有分数分整数的份数这样的概念。实际上巴比伦人并不是只用60进制，也有十进制、十二进制、各进制混合使用。不过在数学和天文上，他们这一贯用60进制。

在古巴比伦计数制中，代表一和十的记号是基本记号，从1~59这些数都是用几个甚至更多一些基本记号结合而成。所以数的加减法就是加上或者去掉这个记号。他们也做整数的乘法，如果要计算36乘以5，他们的做法是30×5＋6×5。这可以看作是乘法分配律的萌芽。为了便于计算,他们大约在公元前2000年以前已经编制了从1×1到60×60的乘法表并用来进行乘法运算了。关于除法,巴比伦人进行的是整数除以整数的运算,由于已经认识到除以一个数等于乘以他的倒数，他们经常要使用分数。并由此制作了倒数表。除了乘除法之外,巴比伦人还能借助于泥板上的数表来进行平方、开平方、立方、开立方的运算。他们的近似表也达到了很高的水平,但是还没有根据证明他们已认识了无理数。

大约于公元前2000年，古代巴比伦人已能使用代表抽象概念的代数语言,可能由于许多代数问题都与几何有关,因此他们常常用“长”“宽”,“面积”来代表未知数和它们的乘积等。例如“给定矩形的周长和面积,试求边长”也就是相当于求解方程组：

早期巴比伦代数中的一个基本问题是:“求一个数,使它和它的倒数之和等于一个给定的数。”用现代的记号来写就是：

并给出答案：

虽然他们没有负数的概念,舍掉负根，但这也足以说明他们会解二次方程，并且他们用变量置换把更复杂的代数问题化为较为简单的问题。对于个别的五元方程组、个别十元方程组、指数方程他们也能进行求解。他们还求出好些毕达哥拉斯三元数组，而且好些都是素毕氏三数。他们很有可能已经掌握了其方法。

相较于代数，古代巴比伦人的几何要逊色很多。虽然一些比较复杂的问题以几何术语来表达,但实质上还是一些特殊的代数问题。从泥板的资料可知巴比伦人在公元前2000年到前1600年,他们就能计算长方形、直角三角形和等腰三角形(也许还知道-一般三角形)的面积,长方体及以特殊梯形为底的直棱柱体积,直角三角形三边存在平方和关系、三角形相似及相似三角形三边对应成比例，在计算圆的周长和面积时取π值为3。他们研究几何问题是为了解决实际问题。

巴比伦人用特殊的名称（长、宽、面积）表示未知量，采用少数运算符号解一元方程或者多元方程。这些都作为期代数的开端。由于他们创建了整数和分数较为系统的写法，算术获得了较好的发展，还解决了一些天文上的问题，但是总的来说他们的算术和代数都是很初等的。他们的算术和代数步骤及集合原则都是根据物理事实，边试边改及直观认识得出的结果，在他们的数学里面找不到逻辑推理的萌芽。

巴比伦人从实际生活中抽象出数，并结合生活实例对数进行运算，能够抽象出事件中的数量关系形成方程进行求解，他们意识到某些运算对某类方程具有典型性表明他们已经初步认识到了不同的事件可以列出同一类方程用同样的解法解决，体现了初步的分类思想并尝试解法一般化，在解决较为复杂的特殊方程时，采用变量置换的方法进行处理也蕴含了化未知为已知的思想，这方程学习乃至整个数学学习中都具有重要意义。他们对几何研究正是体现了数学的来源，即最初的数学来源于生活，为了满足现实生活中解决问题的需要。

二、古埃及数学

埃及文明在公元前4000年前就存在，是在不受外来势力的干扰下独自发展的。早在公元前2500年，埃及人就用僧侣文书写在草纸上，也就是象形文字的简缩。目前发现的草书主要成书于公元前1700年左右，但埃及人早在公元前3500年前就已经知道这些数学知识，在后来的岁月里很少增加新知识。

在公元前3400年以前，埃及人就能用象形文字表示很大的数字。他们以10位基底记数。

尽管埃及是最早采用10进数制的国家之一,但是没有采用位置记数的方法,这就是的他们的记数和运算都比较麻烦。就记数而言，介于其间的各数由这些符号的组合来表示,书写方式是从右往左。所以||nnn表示为32。在计算上，由于任何一个自然数都可以由2的各次幂的和组成，因此他们的算术主要用叠加法。在加减法运算中,添上或拆掉一些数字记号求得结果,进行乘除运算时转化为叠加步骤。

古埃及人通常用单位分数(指分子为1的分数)的和来表示分数且有专门的符号记数。而且兰德纸草里有个数表,它把分子为⒉而分母为5到100的奇数的这类分数,表达成为单位分数的和：

再用这张数表进行计算，例如。5除以21运算如下：

由于整数与分数的运算都较为繁复,古埃及算术难以发展到更高的水平。

埃及算术跟巴比伦一样没能认识到无理数，代数问题总出现的平方根能用整数和分数来表达。草片文书中有求未知量的解法，相当于今天的一元一次方程，但是解法是算术的，只给出了步骤，并未对步骤进行说理，不存在解方程的概念。他们在代数领域并没有成套的记号，也就是说没有出现代数语言。

在几何方面，埃及人没有将其与代数分开，几何作为了实用的工具解决实际问题。他们当时已经会正确计算矩形、三角形和梯形的面积,对其他一些几何图形采用近似计算法,例如在求任意四边形的面积时,出现过近似公式:(a+b).(c+d）/2,他们也可能直到能够构成直角三角形的某些特殊数据。会求圆的面积，并近似的估计π=3.1605...对立方体、柱体等体积的计算,他们给出一些计算的法则,其中有比较准确的也有较为粗略的。对正四棱台体积的计算与我们现在所用的公式完全相同。如今还没有证据证明他们有靠公理形成的演绎结构。值得注意的是，埃及人把天文知识与几何知识结合起来建造了他们的神庙和金字塔，但是不能过分强调与神化有关工程的复杂性和想法的深奥性，总体来说埃及人的数学是简单粗浅的，并不像人们宣称的那样包含深刻的原理。

如果说古巴比伦人突出的成就在于代数方面,古埃及人便在于在几何。这两个古东方文明古国都有自己关于整数和分数的记法和运算，有了一些初步的代数和几何上的公式，还没有成套的记号，也没有解决问题的一般方法论，更没有证明和直观推理的想法来证明他们的运算和公式是正确的，但是已经有了用符号进行标记和表达的意识、有了初步的抽象、初步的推理，单这两个是无意识的。也就是说，数学并未被当成独立的学科，也没有对数学本身进行研究，之所以存在数学知识是为了解决现实问题更好的生活。这个时候数学并被当做一门独立的科学进行研究，但是已经出现数学的萌芽，事实上，这个时候的他们还没有想到任何理论科学。

三、古印度数学

虽然印度文明可以追溯到公元前2000年，但是，在公元前800年前他们是没有数学的。在公元前4世纪或5世纪，给出了根号2的近似值以及一些作等面积的方、元、半圆的知识。的。在这之前，印度的文字一般写在白桦树皮和树叶子上的。也许是树皮和树叶子不好保存，印度数学在7世纪以前缺乏可靠的史料，因此了解得很不够，在这里不作过多的讨论。