公理到底是怎么得出来的？

在数学上，公理系统应该满足下列三项基本要求:

1、相容性；（无矛盾性）

一个公理系统称为自洽（或称相容、一致性），如果它没有矛盾，也就是说没有从公理同时导出一个命题及其否定的能力

2、独立性；（最少个数）

在一个公理系统中，一个公理被称为独立的，若它不是一个从系统的其它公理可以导出的定理。一个系统称为独立的，若它的每个公理都是独立的。

3、完备性。

一个公理系统称为完备的，若每个命题都可以导出或其否定可以导出。

很多人都说数学的基础是公理。平面几何的基础是欧几里德的公理，定义自然数的是皮亚诺的五条公理，而现代数学的基础则是策梅洛-弗兰克公理体系加上选择公理。到底什么是公理，特别是数学公理呢？简单地说，所谓公理就是出发点，也就是事情还没开始，大家都约定肯定成立的前提条件。

1. 数学公理化方法的萌芽

古希腊是当时欧洲商业的中心, 在长达一千多年的光辉灿烂的希腊文化中, 数学更加绚丽多彩。在数学发展史上, 最原始最有影响的公理系统, 是欧几里得(Euclid, 约公元前330 — 公元前275) 所建立的初等几何公理系统。这个公理系统乃是他的世界名著《原本》的理论基础。

然而, 远在欧几里得之前,在古代巴比伦人、埃及人和希腊人那里, 就已产生了公理化思想的萌芽。公元前六世纪时期, 希腊数学的鼻祖泰勒斯(Thales, 约公元前624 – 公元前547)就把逻辑论证引入于数学之中。及至希伯索斯(Hippasus) 发现无公度线段之后, 毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前580 — 公元前497) 学派即逐步认识到直观、经验和实践并非绝对可靠,希望对过去由经验而直接得到的几何知识都能够用严格的逻辑推理来加以证明。

柏拉图(Plato, 公元前427 — 公元前347) 曾经提出:“迫使灵魂用抽象的数来进行推理, 而厌弃在辩论中引入可见的和可捉摸的现象”。亚里士多德(Aristotle, 公元前384 —公元前322) 认为秩序和对称是美的主要因素, 但二者都可以在数学中找到。很多数学史家都认为数学公理化思想的萌芽始自于亚里士多德的著作。

我们前面讲过欧几里得的几何原本。这部书就是描述欧氏几何。书的开篇就有几大公理和公设。几何原本有5大公理，这五个公理对我们普通人来说，简直就是不用想也应该是对的。第一就是等于同量的量相等，第二是等量加等量其和仍然相等，第三是等量减等量其差相等。第四是彼此能重合的物体是全等的。第五是整体大于局部。这五点，按照我们普通人常识思维肯定是成立的。

另外还有5大公设，除了第五大公设平行公设后来发现可以有其它路径外，其它四个都是关于点，圆，线的作图，应该也没有问题。简单说，前四大公设为，1.两点可以做一条直线，2.直线可以延长，3.任意点加一个长度可以画个圆，4.所有直角都是相等的。四大公设一看也是显然成立的。

从这十点出发，欧几里得通过几何原本勾画出了整个欧氏几何，也是我们中学学过的几何内容。我们学的时候，看不出任何问题。

2. 公理化方法的完善阶段

十九世纪俄国年轻数学家H.N. 罗巴切夫斯基Lobatchevsky (1793 — 1856) 认真分析了前人的经验与教训, 大胆地提出一个新观念: 可能会存在第五公设不能成立的新几何系统。在这种思想的指导下, 他一举而创立了罗巴切夫斯基几何学, 简称罗氏几何学, 又称为双曲几何学。

非欧几何学的建立, 不仅为公理化方法的进一步发展奠定了基石, 而且为新数学理论的发现提供了先例。

20世纪20年代，在集合论不断发展的基础上，大数学家希尔伯特向全世界的数学家抛出了个宏伟计划，其大意是建立一组公理体系，使一切数学命题原则上都可由此经有限步推定真伪，这叫做公理体系的"完备性";希尔伯特还要求公理体系保持"独立性"和"无矛盾性"。希尔伯特的计划也确实有一定的进展，几乎全世界的数学家都乐观地看着数学大厦即将竣工。

希尔伯特于1899 年出版了《几何学基础》一书,该书被誉为半角式化公理学的代表作, 同时他也是举世公认的“现代数学中公理化方法的奠基人”。他在该书中提出了一个比较完美的初等几何公理系统, 其中包含6个基本概念“点”、“直线”、“平面”、“属于”、“介于”、“合同于” (前3个基本概念一般称之为基本元素, 后3个基本概念一般称之为基本关系), 以及描绘这6个基本概念之间相互关系的20条基本命题。实际上,这20条基本命题即是这6个基本概念的隐定义。对于基本命题,也可称之为公理条文，

有了这些公理，任何几何方面的问题，我们都可以解决。这也叫做公理系统的完备性。不完备的公理系统，在希尔伯特眼里也是不完美的。同样简单地说，一个几何题，我们肯定是做得出来的，如果做不出来，那公理就不完备了。

我们还真不能怪希尔伯特钻牛角尖。因为当时除了欧几里得的几何公理，还有其它一些数学的公理体系。最叫人担心的就是数的公理，也就是希尔伯特在他的第二个问题中提到的算术公理。这套公理定义了数和数的运算规则，它又叫做皮亚诺公理，是意大利数学家皮亚诺提出的，公理总共有九条，粗看看也都是显然的。不过由于希尔伯特时代，数论还是有很多悬而未决的问题，也许希尔伯特直觉感到皮亚诺公理体系有缺陷，所以提出要数学家来证明这个皮亚诺公理体系是相容完备的。

3. 公理化方法的形式化阶段

如果没有康托的抽象集合论和数理逻辑的近代发展, 数学公理方法的形式化也不可能获得新的进展。

公理化方法的形式化,不仅推动着数学基础的研究, 而且还推动着现代算法的研究, 并为数学应用于电子计算机等现代科学技术开辟了新的前景。然而, 含内容的公理学在一定场合下, 仍然是一种有用的数学方法, 它的功效和作用, 是不可能完全为形式化公理方法所代替的。欧几里德的初等几何公理系统, 在当前的中学数学教学中仍然具有重大参考价值。

除此而外, 还应该看到: 希尔伯特想把全部数学都纳入于公理化方法形式化的宏伟规划中去的愿望, 已经由奥地利数学家哥德尔(G¨odel) 在1931年发表的“不完全性定理”所表明: 那是永远不能彻底实现的。

在探索皮亚诺公理系统相容性的过程中，另外一个超级天才又进入了数学家的视野，那就是英国数学家罗素。

罗素的天才在于他能把人的逻辑思维非常简明的描绘出来，所以后人也把罗素称为逻辑大师。同时罗素又被人赞为哲学家，这在数学家中并不多见（可能只有笛卡尔有哲学家的称号）。哲学家的厉害之处，在于用简明的语言点出了深奥的人生道理，让你不得不佩服。罗素把数理逻辑发展成了一门哲学学科，足见他功底之深。

当然，罗素在数学上最叫人记住的，不是他的深奥理论，而是他发现了集合论的矛盾，现在也叫做罗素悖论。这个悖论甚至引发了第三次数学危机，可见其影响程度之深。

4. 结构主义是公理化方法的新发展

罗素悖论激发了罗素想建立有确定性数学体系的决心。因为有问题有困难才体现天才的价值，所以他提出了一系列公理，试图化解这个集合悖论，并写出了巨著《数学原理》，企图建立一个完美的数学体系，这个数学体系没有悖论，一切由公理出发，所有问题都可以解决。

1933 年在法国出现一个以布尔巴基(Bourbaki) (这是法国历史上一位战功卓著的将军) 为笔名的青年数学家集团,他们用结构主义观点, 写成一本皇皇巨著《数学原本》,从1939 年到1983年, 已经出版40册。从本质上来说, 结构主义乃是形式化公理方法在方法论上的新发展, 形式化公理方法是着眼于探讨每个数学分支的公理化, 而结构主义则是着眼于探讨整个数学大厦的公理化, 他们先从全局上来分析各个数学分支之间的结构差异和内在联系, 然后再对每门数学深入分析其基本结构的组成形式。与形式化公理方法相比, 结构主义则是对数学理论的更高一步、更深一层的抽象和概括。这样做不仅有助于发掘各个数学理论之间的内在亲缘关系, 解除数学理论之中的非本质界限, 而且有助于扩大数学理论的应用范围。

布尔巴基学派原来设想把数学结构的研究, 从一个分支转移到另一个分支, 直至数学的一些很僻远的领域之中。今天看来, 这个学派已很难实现他们的全部计划。

正是这部《数学原理》引起了另一个数学天才的注意，并从而推倒了所有数学公理体系成立的可能，这个天才就是哥德尔！1931年，在希尔伯特提出计划不到3年，年轻的哥德尔就使希尔伯特的梦想变成了令人沮丧的噩梦。哥德尔证明:任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假。也就是说，"无矛盾"和"完备"是不能同时满足的!这便是闻名于世的哥德尔不完全性定理。

哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。无怪乎大数学家外尔发出这样的感叹:"上帝是存在的，因为数学无疑是相容的;魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。"

哥德尔不完全性定理的影响如此之广泛，难怪哥德尔会被看作当代最有影响力的智慧巨人之一，受到人们的永恒怀念。美国《时代》杂志曾评选出20世纪100个最伟大的人物，在数学家中，排在第一的就是哥德尔。

公理是大家都能够直接接受，无需证明的几何性质。数学家把它总结出来，写到书本上，大家在做几何证明题时，公理作为已知条件，供大家运用。公理是普通人也能一看就明白的几何原理。欧几里得《几何原本》中的五大公设，就是这样的公理，仅第五公设不够完备，在数学界一直有争议，使得非欧几何产生，其中黎曼几何球面上的三角形，内角和大于180度，而欧氏几何认为三角形内角是等于180度的，但是，数学家高斯通过研究，认为这两种几何是相容的，不过,他没有具体说明相容点在哪。这实际迁涉到第五公设的不完备性，因为通过能够组成圆的等腰三角形，我们可以知道，在平面上，顶角等于和小于3.6度的等腰三角形，内角和也大于180度，它的底边直线与两条腰的直线是垂直相交的，这就是第五公设未考虑到的，而公设是不允许有几何性质遗漏的。主要是欧几里德时代非欧几何没有诞生，很难让人考虑到三角形内角会大于180度，更何况这其中包含着平直向弯曲直接过度的深度几何原理，前人考虑不到，在情理之中。就算是公理，也不是人人都能主动去发现的，否则，岂不人人都能当上欧几里德那样的大数学家。数学家把公理总结出来了，普通人才知道是这么回事，这就是区别。狗都知道走直角三角形弦边抄近道，只有人才能真正知道，两直角边的和，大于第三边的道理。

公理这个词翻译得不好，叫“公设”是更准确一些的。

“公理”给人的印象就是不容挑战的绝对的真理。但数学公理不是这样的。比如第五公设，为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。这一“公理”是不容挑战的吗？显然不是。

黎曼修改第五公设，“过直线外一点，不存在一条直线与已知直线平行”，然后建立了完整的几何体系。它被叫做“黎曼几何”。罗巴切夫斯基修改第五公设，“过直线外一点，有无数条直线与已知直线平行”，然后也建立了完整的几何体系。它被叫做“罗氏几何”。

相应的，原来的欧几里得提出的几何体系也就改叫“欧式几何”。

数学是完全抽象的，把它拿来计算现实问题只是大材小用。我们现在初中生已经不怎么学几何了，学的都是“算术”，也就是在图形上进行计算而已。

只要有几条公理，不管它怎么来的，也不管它是否符合现实中的真实情况，只要它本身没有相互矛盾，就可以发展出一套完整的知识体系。从理论上，你如果不喜欢某一条公理，完全可以象黎曼或者罗巴切夫斯基一样，通过修改公理，建立自己的公理体系。

所以公理啥都不是，就是一些基础和假设，叫它“公设”更准确。

至于在数学的发展过程中，公理是怎么被筛选出来的。这是一个纯粹的思维游戏。欧几里得提出一些想法，然后用它们做为公理发展他的几何体系。然后一条一条排除，把能够被其它公理证明的降格为定理。如果A作为公理能证明B，B作为公理也能证明A，那就凭自己的感觉，看A更简单直观还是B更简单直观，然后做出完全主观的选择。

所以说，我们读《几何原本》和欧几里得写《几何原本》的工作量是完全不一样的。数学家和科学家不一样，他们的著作从不描述自己具体的工作，只把成果展示给你，展示给你的是世界上最完美的工艺品。

数学家都是有艺术气息的，他的生命价值就在于创造这样的逻辑之美。