积分到底是不是求和？

学了微积分的朋友，应该都知道积分定义是微积分中最庞大的定义，由"分割"、"取值求近似值"、"求和"、"求极限"四个步骤组成，这里分割的任意性，取值的任意性更是让积分概念显得复杂，近似值的形式不同也有不同的形式，而求极限和普通的函数、数列极限又完全不同，因为其极限的自变量是分割后的最大的小区间的长度，这个长度其实很难和最终的和式有明显的关系。只有等分之后把区间长度用关于n的式子表示出来才把变量为区间长度的和式极限变成变量为自然数的和式极限，这样就可以使用数列极限进行计算了。

从整个定义当中，求和和和式极限并不难理解，但是等分这种特殊分法是建立在可积分的前提下，才能不考虑分割和取值，其最终的和式极限都相等。而可积函数类的证明几乎所有的高等数学的教程中都没有说，一般情况下直接给出连续函数在闭区间可积、有界函数在有限个间断点的闭区间可积的结论，这里证明比较复杂也不多说了。

我们的一切方法都是建立在函数可积的基础之上的，对于当下学的函数类来说这两类函数已经够用了，未来只需要注意函数类的扩张即可。

在我们看到的定积分的定义中，几乎就是求和、求极限，我们似乎并没有感觉到有什么太大的差别。我们如果把这个过程用微元法中的"微元"去思考的时候，我们发现积分中的"和"与普通的"和"差别非常之大。

我们知道微元法中的微元是把所有的分割都看出一样，最终长度都"0"，以曲边梯形面积为例，我们把所有的分割得到的窄的小曲边梯形都看成和高为函数值f（x），底为dx的矩形近似相等。当dx趋向于0的时候，小曲边梯形和小矩形都变成了高为f（x），底为0图形，也就是线段，这个时候二者是相等的。我们的微元f（x）dx就是一个面积为零的线段了。这个时候把区间[a,b]中所有的微元相加就成为了区间[a,b]的定积分。

这个过程我们在几何中经常听说，比如"线动成面"、"面动成体"，其实这个线就是面中的微元，微元具有线和面的双重特征。但是这个时候"加"微元就变得比较麻烦了，在和式极限中的"和"，是离散的"相加"，我们都非常习惯，即便是求极限也只是把这种相加的过程变成无限多次罢了，似乎并没有太多改变。而微元相加则是一种连续性的"相加"，这时候就非常像"飞矢不动"这个悖论了，我们几乎没有办法按照"离散"相加一个一个把微元加起来。

其实我们应该意识到，这种连续性的微元用"相加"这个词是有些不恰当的，或许"积"来刻画这种情况比较合适。

当然有同学会问，为何积分定义中的积分和是离散的，且极限也可以变为数列极限呢？其实这都是积分概念中两个任意：任意分割，任意取值给我们带来的便利，使得我们可以把积分和写得比较简单，也可以让我们把以区间长度为变量的极限变成以自然数n为变量的数列极限。当然这一切都归功于这个被积函数是可积的才行，而两类被积函数才使得我们不管怎么分割不管如何取值极限都是一样的。有趣的是，我们并没有证明这两类可积函数类是否可积。有兴趣的同学可以查阅资料看看到底需要什么样知识储备才可以证明出来。

看到这里，或许我们应该知道"和"与"积"的差别了吧！

作者：虹野

编辑：虹野

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