再说中考常考多变的热点题型，路径最值问题，一文打尽

为节约能量，寻找最短的路径是人生的追求，在生活中，我不断地研究和发现最短的路线，并把结果总结成方法和原理。由此可见，数学是为我们更好生活而存在的。

最短路径问题，如将军饮马，为中考重难点题型，在中考中出现的频率比较高，和面积问题差不多。主要以几何题或函数综合题为主。

问题综述：

最短路径问题是初中阶段图论研究中的经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法形式包括：

一、确定起点的最短路径问题；

二、确定终点的最短路径问题；

三、确定起点、终点的最短路径问题；

四、全局最短路径问题。

问题原型：“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”

涉及知识：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，涉及知识）“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”；

出题背景：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等；

解题思路：通过运用轴对称、平移等图形变换的方式，在图中实现由“折”转“直”，再利用“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形三边关系”等知识，说明所得路径最短。

解题关键：找对称点实现“折”转“直”。

经典考题：

1．（2020•恩施州中考题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

【解析】连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时△BFE的周长最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案．

∵四边形ABCD是正方形，

∴点B与点D关于AC对称，

∴BF＝DF，

∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小，

∵正方形ABCD的边长为4，

∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，

∵点E在AB上且BE＝1，

∴AE＝3，

∴利用勾股定理可求得DE＝5，

∴△BFE的周长＝5+1＝6，

故选：B．

2．（2020•贵港中考题）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为（　　）

A．√10 ﹣1 B．√2+1 C．√10 D．√5+1

【解析】作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE+PM的最小值为OE'的值减去以AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．

∴线段PE+PM的最小值为：PE+PM＝PE'+PM＝ME'＝OE'﹣OM＝√10﹣1．故选：A．

3．（2020•潍坊中考题）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（　　）

A．1/2 B．3/4 C．1 D．3/2

【解析】延长CO交⊙O于点E，连接EP，交AO于点P，则PC+PD的值最小，利用平行线分线段成比例分别求出CD，PO的长即可．

∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，

又∠AOB＝90°，∴∠DCB＝∠AOB，

∴CD∥AO∴BC/BO=CD/AO,

∵OC＝2，OB＝4，∴BC＝2，

∴2/4=CD/3，解得，CD＝3/2；

∵CD∥AO，

∴EO/EC=PO/DC＝PO/DC，解得，PO＝3/4.故选：B．

4．（2020•荆门中考题）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（　　）

5．（2020•鞍山中考题）如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，6），B（﹣2，2），在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持CD＝1，线段CD在x轴上平移，当AD+BC的值最小时，点C的坐标为______．

【解析】把A（3，6）向左平移1得A′（2，6），作点B关于x轴的对称点B′，连接B′A′交x轴于C，在x轴上取点D（点C在点D左侧），使CD＝1，连接AD，则AD+BC的值最小，求出直线B′A′的解析式为y＝2x+2，解方程即可得到结论．故答案为：（﹣1，0）．

6．（2020•永州中考题）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是______．

【解析】分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′＝OP″＝OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．

则△PMN周长的最小值是5√3．

7．（2020•聊城中考题）如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为_______．

【解析】根据平行线的性质得到∠BAC＝45°，得到∠C＝90°，求得AC＝BC＝2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，根据勾股定理即可得到结论．

∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2√5，

8.（2020·南京中考题）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．

（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．

为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．

（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．

①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；

②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

【分析】

题（1）就是将军饮马问题的证明过程，利用轴对称进行线段的转化，再利用两点之间线段最短（三角形三边关系亦可）即可得到结论。

题（2）①在原有的基础上面增加了难度，中间增加了正方形的生态保护区。

由于不能闯过该区域，所以就无法直接使用两点之间线段最短进行解决。

不过还是可以参考原来的思路。

也是先对称再连接A′B，根据观察，经过正方形拐点的时候最短，可以选取其它的点，如外面的点，进行证明即可。

这个图形在八年级三角形的课本中出现过，以证明AB+AC＞PB+PC。

题（2）②在原有的基础上面又变成了一个圆形。

也是采用连接的方式，发现仍然不能直接连接，所以必须绕着圆弧，那么分别过点B与点A作圆的切线，得到的路径是最短的。

与上面的图形类似可以用相同的方法，取不一样的点进行验证。不过说理过程比较麻烦，而且图形只是给了一种情况，题目就不要求写理由了。

其实大家也可以由上面的问题，抽象出一个问题出来：

AB，AC与弧BC切于点B，C。求证AB+AC＞弧BC。

【答案】证明：（1）如图②，连接A'C'，

∵点A，点A'关于l对称，点C在l上，

∴CA＝CA'，

∴AC+BC＝A'C+BC＝A'B，

同理可得AC'+C'B＝A'C'+BC'，

∵A'B＜A'C'+C'B，

∴AC+BC＜AC'+C'B；

（2）如图③，

在点C出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB，（其中点D是正方形的顶点）；

如图④，

在点C出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACD+(DE) ̂+EB，（其中CD，BE都与圆相切）。

最新考题

1．（2021•和平区一模）如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝6，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】作AH⊥OB于H．交OC于P，作PQ⊥OA于Q，可得PA+PQ＝PA+PH＝AH，根据垂线段最短，PA+PQ最小值为AH，故选：C．

2．（2021•河南四模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点B的坐标为（4，4），顶点A在y轴上，直线x＝2与AB交于点D，点E为OD的中点，点P为直线x＝2上一动点，当△OPE的周长最小时，点P的坐标为（　　）

A．（2，4/3） B．（2，2） C．（2，1） D．（2，0）

【分析】连接EC，与直线x＝2的交点即为P点，此时，△OPE的周长最小，最小值为OE+CE，根据待定系数法求得直线CE的解析式，即可求得P的坐标．故选：A．

3．（2021•港南区一模）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是BC，CD边上的动点，满足BE＝CF．则AE+AF的最小值为（　　）

A．√5 B．2√2 C．2+2√2 D．2√5

【分析】连接DE，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，易得AE+AF＝AE+DE＝A'E+DE，当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，利用勾股定理求解即可．

故选：D．

4．（2021•利辛县模拟）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q分别是BD，AB上的动点，则AP+PQ的最小值为（　　）

A．6 B．6√3 C．3 D．3√3

【分析】在BC上取E，使BE＝BQ，这样AP+PQ转化为AP+PE即可得出答案．

在BC上取E，使BE＝BQ，连接PE，过A作AH⊥BC于H，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵BP＝BP，BE＝BQ，

∴△BPQ≌△BPE（SAS），

∴PE＝PQ，

∴AP+PQ的最小即是AP+PE最小，

当AP+PE＝AH时最小，

在Rt△ABH中，

AB＝6，∠ABC＝60°，

∴AH＝AB•cos60°＝3√3

∴AP+PQ的最小为3√3，故选：D．

5．（2021•淮南一模）如图，Rt△ABC中．∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2√2．点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为（　　）

A．8/9 B．16/9 C．8√2/9 D．16√2/9

【分析】如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作A'E⊥AC于E，交BC于D，则AD＝A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长，根据相似三角形对应边的比可得结论．故选：B．

7．（2021•武昌区模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM＝2，N为边BC上一动点，连接MN，点B关于MN对称，对应点为P，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为_______．

【分析】由折叠可知点P在以M为圆心，BM为半径的圆上，以B点为原点，BA所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，通过计算得

8．（2021•成华区模拟）如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AC上，AD＝1，线段PQ在边AB上运动，PQ＝1，则四边形PCDQ面积的最大值为_____；四边形PCDQ周长的最小值为_______．

当x取最大值5时，可得求得四边形PCDQ的面积最大值；作点D关于AB的对称点D'，连接D'Q，以D'Q、PQ为边作平行四边形PQD'M，过C作CH⊥AB，交D'M的延长线于N，依据平行四边形的性质以及线段的性质，即可发现当M，P，C在同一直线上时，MP+CP的最小值等于CM的长，即DQ+CP的最小值等于CM的长，再根据勾股定理求得CN的长，即可得出四边形PCDQ周长的最小值．

当M，P，C在同一直线上时，MP+CP的最小值等于CM的长，即DQ+CP的最小值等于CM的长，

教学思考：

在解决中考 这一热点难点，最短路径问题时，我们不要一味地搞题海战术，关注解决过程，把实际问题抽象为数学问题，关注到所需要的数学知识，蕴含的数学思想方法。

利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，应用两点之间线段最短，从而做出最短路径的选择。

教学时引导学生多思考，多问几个为什么，透过现象看本质，化未知为已知，化繁琐为简单，体现出化归思想。

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