2021广东中考数学第20题，作垂直平分线并求三角形周长及锐角正切

今年，2021年的广东中考数学卷，号称历届最难，前面讲了几道难题，这次我们来讲一道简单一点的，这是它的第20题，以第20题的难度来说，它是否偏难呢？

如图, 在Rt△ABC中, ∠A=90度, 作BC的垂直平分线交AC边于点D, 延长AC至点E，使CE=AB.(1)若AE=1, 求△ABD的周长;(2)若AD=BD/3, 求tan∠ABC的值.

看似只有两小题，其实题干还有一个作图要求。虽然没有要求写作法，但是平时练习，一定要写一写作法，这样才能巩固作图的过程和方法的掌握。

作法：如图, 分别以B, C为圆心，以大于BC一半的半径作弧,

两弧交于两点, 连接两点交AC边于点D, 交BC于F。

解：图中DF就是BC的垂直平分线. (有必要在解题的题干中交待一下，并且按要求延长AC至点E，使CE=AB)

第一小题应该想到所求三角形的周长，可以通过三边的等量替换，与AE产生关联。

可以连接BD，利用垂直平分线的性质，就有BD=CD，

而题设已知AB=CE，

这样就可以直接利用等量替换，得到三角形ABD的周长就等于AE，过程如下：

(1)连接BD, 依题意, BD=CD.

又AB=CE, ∴△ABD的周长为：

AD+BD+AB=AD+CD+CE=AE=1.

第二小题的解法是有套路的。通过设未知数x，用含x的式子表示各边的长，就可以转换出所求的正切值了。

通常我们设较小的边AD为x，则BD=3x，

在直角三角形ABD中运用勾股定理就可以用含x的式子表示AB。

而AC可以转换为AD和BD的和，也可以用含x的式子表示，

这样在直角三角形ABC中，所求的正切值就等于对边AC和邻边AB的比，从而得到最后的答案。解题过程如下：

(2)设AD=x, 则BD=3x.

在Rt△ABD中, AB= √(BD^2−AD^2 )= 2√2 x,

又AC=AD+CD=AD+BD=4x,

∴在Rt△ABC中, tan∠ABC=AC/AB=4/(2√2)=√2.

怎么样，你觉得这题还行吗？