2021年大庆市中考数学卷的选择题压轴题，抛物线相关说法，有陷阱

这是2021年大庆市中考数学卷的选择题压轴题：

已知函数y=ax^2-(a+1)x+1, 则下列说法不正确的个数是( ).

①若该函数图像与x轴只有一个交点, 则a=1

②方程ax^2-(a+1)x+1=0至少有一个整数根

③若1/a

④不存在实数a, 使得ax^2-(a+1)x+1≤0对任意实数x都成立.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

分析：这个类型的题目需要有非常巩固的抛物线知识，即对二次函数和一元二次方程，以及二元不等式，都要有充分的认识。关键还要细心，错一点点就会导致整题拿不到分数。

一般来说，这四个说法都可以用判别式来检验。但有些单靠判别式还不够，有些则单靠判别式还有可能落入题目的陷阱，比如第一个说法。

我们先求函数的判别式（其实就是一元二次方程的判别式），

△=[-(a+1)]^2-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2, 很容易就以为第一个说法是正确的。其实错了。因为题目没有指定所给的函数是二次函数，所以其实还有当a=0时，函数的图像也与x轴只有一个交点。这是很容易疏忽的。因此①错。

接下来可以运用求根公式，求得方程ax^2-(a+1)x+1=0的两个根分别是x1=1, x2=1/a, 很明显，②是正确的. 当然，也可以用因式分解法求根：或(ax-1)(x-1)=0.

③当a<0时, 抛物线开口向下, 结论是相反的. 有图有真相，如下图，可以很清楚地看到当1/a

④用反证法，若存在实数a，使不等式对任意实数x都成立，则存在这样的必要条件：a<0, △=0. (或者a<0,△≤0，这个函数的判别式不可能小于0，所以两个条件等价 ). 只有当a<0时，抛物线的开口向下，才有可能满足ax^2-(a+1)x+1≤0，而判别式不大于0，抛物线与x轴没有两个交点，函数值才不会大于0. 但是由△=[-(a+1)]^2=0时, a=1>0，这就与a<0矛盾，所以④正确。

综上，正确的说法有两个，就是②和④。