深圳中考数学压轴题，一道能把人玩疯的探究型题目，与相似有关

这是深圳中考数学的压轴题，是一道出题人秀智商，同时侮辱考生智商的一道考题。老黄发出来本意是与大家共同探讨，并非为了秀自己的智商。因为没有较对过答案，以老黄的智商是存在出错的可能的，请聪明的您多加指教！

在正方形ABCD中, 等腰直角△AEF, ∠AFE=90⁰, 连接CE, H为CE中点, 连接BH, BF, HF, 发现BF/BH和∠HBF为定值. 则

(1)①BF/BH=_____；②∠HBF=_____.

③小明为了证明①②, 连接AC交BD于O, 连接OH, 证明了OH/AF和BA/BO的关系，请你按他的思路证明①②.

(2)小明又用三个相似三角形(两个大三角形全等)摆出如图2, BD/AD=EA/FA=k, ∠BDA=∠EAF=θ. (0⁰<θ<90⁰)

求①FD/HD=_____；②FH/HD=_____. (用k, θ的代数式表示).

分析：第一小题还好办，关键证明△BHF是一个等腰直角三角形，问题就可能得到解决。首先通过证明△BOH与△BAF相似，再根据相似的性质，得到证明△BHF与一个等腰直角三角形相似的条件，从而得证，就可以得到答案。根据猜想，①BF/BH=根号2；②∠HBF=45⁰.

(1)③证明：∵O,H分别平分AC, CE,

∴OH//AE, 且有OH/AE=1/2,

在等腰直角△AEF中, AF=AE/根号2,

∴OH/AF=根号2OH/AE=根号2 /2,

在等腰直角△AOB中, BO/BA=根号2 /2,∴OH/AF=BO/BA,

∠BOH=∠BOC+∠COH=90⁰+∠COH,

∠BAF=∠BAC+∠CAE+∠EAF=45⁰+∠CAE+45⁰=90⁰+∠CAE,

又∠COH=∠CAE(两直线平行，同位角相等),

∴∠BOH=∠BAF, ∴△BOH∽△BAF,

∴∠OBH=∠ABF, BH/BO=BF/BA=BF/BC,

∴∠HBF=∠ABD-∠ABF+∠OBH=∠ABD=∠OBC=45⁰,

∴△BHF∽△BOC,

∴BF/BH=BC/BO=根号2.

分析：(2)第二小题就完全是出题人在秀智商了。这里四边形ABCD为一个平行四边形，是解题的必要条件，但就题干的条件来说，并无法保证这一点，因此此题其实是没解的。不过我们只能迁就出题人的智商，观察猜想△DBA≌△BDC∽△AEF。

由BD/AD=EA/FA, ∠BDA=∠EAF证明了上面的猜想.【只是证明了相似，并不能证明全等的情形，就算全等，也未必构成平行四边形】

然后模仿(1)连接AC交BD于O,并连接OH，

①可证△AFD∽△OHD, 从而有FD/HD=AD/OD=2AD/BD=2/k.

②又可证△DFH∽△DAO, 从而有FH/HD=AO/OD,

过O作OG⊥AD于点G, 令AD=a, 则OD=BD/2=ak/2,

OG=aksinθ/2, DG=akcosθ/2, AG=a-akcosθ/2

AO=根号内(OG^2+AG^2)=a根号内(k^2/4+1-kcosθ)。

现在有三个问题：

1、得到的答案正确吗？

我们可以用(1)中的特殊情况检验这个结果。

2、考试为了节省时间，我们可以仿模(1)解决，中间有一些过程被省略了，但(2)真的与(1)可以同理吗？

经过探究，发现两道小题可以同理，但上面(1)中的证法在(2)中是走不通的，那是因为(1)中没有用普遍的证法造成的。不需修改，但心中要通明，知道怎么回事。为了迷惑考生，图1和图2中的B点和D点还交换了一下位置，出题人可谓是用心良苦了。

3、只有这一种情形吗？会不会有多个答案？

这里老黄是真被出题人的智商打败了。因为按题干的描述，摆脱所给图形的束缚，肯定会有不同的情形的。但你不知道，图形是否有束缚，因此我不得不设计了两种情形进行探究，其中变化最大的情况如下图：

不过让老黄怎么都没想到的，得到的结果竟然是完全一模一样的。所以，老黄说，这是一道能把人玩疯的中考题。

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