上海市杨浦区2021中考数学关于圆的解答题，轴对称性质的极致运用

这是上海市杨浦区2021年中考数学关于圆的解答题真题。这道题的第二小题可以用轴对称的知识解，可能会比较简便一点。

已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G，AD=CB，M，N分别是CB和AD的中点，联结MN，OG.

(1)求证：OG⊥MN；

(2)连接AC,AM,CN,当CN//OG时，求证：四边形ACMN为矩形.

证明：(1)∵AD=CB，∴弧BAC=弧DCA,【利用等弦对等劣弧，这个知识考生用的可能比较少】

∴弧BA=弧BAC-弧AC=弧DCA-弧AC=弧DC,【弧的简单加减运算，推出两弧相等】

∴∠BDG=∠DBG,【等弧对等圆周角】

∴BG=DG,【等角对等边，即三角形BGD是等腰三角形】

又M, N分别是CB和AD的中点，∴BM=DN，

∴MG=BG-BM=DG-DN=NG，【即三角形MGN是等腰三角形】

连接OM，ON，则OM=ON，【这是根据同圆或等圆内等弦对应的弦心距相等，可以注释“等弦有等弦心距”，再或者根据等腰三角形MGN关于OG轴对称，也可以得到这个结论】

∴OG是∠MGN的平分线,【因为到角∠MGN的两边距离相等的点G在角的平分线上】

∴OG⊥MN.【这里依据的是：等腰三角形底边“三线合一”的性质】

(2)由(1)可知等腰△BDG关于OG对称，M,N是对称点.

又CG=BC-BG=AD-DG=AG, 【即点A，C分别在DG和BG的延长线上，且CG=AG】

∴A,C关于OG对称，即整个图形关球OG对称

∴AC//MN，【轴对称图形对称点间的连线互相平行】

∠AMN=∠CNM，【轴对称图形对应角相等】

当CN//OG时, CN⊥MN,【平行线垂直于同一直线】

∴AM⊥MN,【这是先推知∠AMN=∠CNM都是直角，由直角的定义才有这个垂直关系】

∴AM//CM, 【平面内垂直同一直线的两条直线互相平行，所以四边形ACMN是平行四边形】

∠CNM=90⁰，

∴四边形ACMN为矩形.【有一个直角的平行四边形是矩形】。

后面都是注释，不一定要写进解题过程中。