新题型！天津市2021年中考数学填空题的压轴题，图形找点

这是天津市2021年中考数学填空题的压轴题：

如图, 在每个小正方形的边长为1的网格中, △ABC的顶点A, C均落在格点上, 点B在网格线上.

(1)线段AC的长等于_____；

(2)以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP=AC，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简单说明点P的位置是如何找到的（不要写证明）________.

分析：(1)第一小题就是送分题，非常简单，只要利用勾股定理就可以求得：(1)AC=根号内(2^2+1^2)=根号5;

(2)第二小题必须有好的思路，需要画的辅助线比较多，先给出图形，再慢慢给大家解释。

第一步，要找到角BAC的平分线，老黄原先的设想是通过等腰三角形底边三线合一的性质来找到P点。

先延长AC交圆O于D, 连接BD, 只要找到弧BD的中点，就可以找到角BAC的平分线。这里可以利用垂径定理的推论。观察BC与网格的交点中，中间的那个就是BC的中点，记为E点。连接OE，则OE是三角形ABC的中位线，延长OE交圆O于F，则OF垂直平分弦BD，点F就是弧BD的中点。连接AF交BC于点G，则AF就是角BAC的平分线。

接下来可以过C点作AF的垂线，这条垂线交AB于点P就是所求，但单凭一支没有刻度的直尺，很难作出这条垂线，所以只好重新想办法。

连接BF交延长BF交AD的延长线于H, 连接HG并延长交AB于点P就是所求. 为什么呢？

我们可以通过证明三角形BCG和三角形APG全等，来证明AP=AC。

因为AF垂直于BH，且AF是角BAC的平分线，所以三角形ABH和三角形GBH都是等腰三角形，GF也是角BGH的平分线，因此角HGF等于角BGH，它们的对顶角也相等，即角AGC=角AGP，又AG是公共边，角CAG=角PAG，所以三角形BCG和三角形APG全等，所以AP=AC。

虽然题目没有要求证明，不过其中的道理，我们还是需要明白的。最后，把上面的过程稍微组织一下就是答案了。

BC的中点在网格上，记为E，连接OE并延长交圆O于F, 连接AF交BC于点G，连接BF并延长交AC的延长线于H, 连接HG交延长交AB于点P就是所求.

更多相关：

天津市2021年中考数学选择题的压轴题，抛物线的相关知识应用

2021北京中考数学填空压轴题，山重水复疑无路，柳暗花明又一村

保证你没有见过这么简单的中考数学压轴题，来自上海杨浦2021中考

由一道周期函数判断题，分析判断周期函数的一般方法

奥运会上有趣的数学题，虽然只是小学程度，大学生一时也会犯懵