广东考生大呼：今年中考数学太难了，看看这道真题，真的那么难吗

这是今年，2021年广东中考的数学真题，第24题。据说这次广东中考的卷子特别难，很多考生都无法完成最后三道题。真的有这么难吗？前面老黄已经介绍了压轴题的解法，今天就继续来介绍倒数第二题的解法，看看它是不是真的那么难。

如图, 在四边形ABCD中, AB//CD, AB≠CD. ∠ABC=90度, 点E, F分别在线段BC, AD上, 且EF//CD, AB=AF, CD=DF.

(1)求证：CF⊥FB;

(2)求证：以AD为直径的圆与BC相切；

(3)若EF=2, ∠DFE=120度, 求△ADE的面积.

分析：(1)很明显的，要通过证明∠BFC=90度。而 ∠BFC=∠CFE+∠BFE，只要我们能证明CF和BF分别平分∠DFE和∠AFE就可以了。这里要运用到平行线的性质和“等边对等角”的等腰三角形定理。

(1)证明：∵EF//CD//AB,

∴∠CFE=∠DCF, ∠BFE=∠ABF, （两直线平行，内错角相等）

又AB=AF, CD=DF,

∴∠CFD=∠DCF, ∠BFA=∠ABF,（等边对等角）

∴∠CFE=∠CFD, ∠BFE=∠BFA, (等量替换，从而证明CF和BF分别平分∠DFE和∠AFE)

∴∠BFC=∠CFE+∠BFE=(∠DFE+∠AFE)/2=180度/2=90度,

∴CF⊥FB.

(第一小题相对以往的第一小题，的确难度提高了不少)

分析：(2)首先要连接MN，证明MN⊥BC且MN是圆的半径就可以了。而要证明半径，只要证明MN=AN。道理很简单，但是要证明MN=AN必须再画两条辅助线。如图，一共三条辅助线，这样的情况在往年的广东中考数学卷中，可能比较少见吧。

(2)证明：如图, 取AD, BC的中点M, N,

则点N是以AD为直径的圆的圆心,

连接MN,AM,MF, 则MN//AB//CD,（因为MN是直角梯形ABCD的中位线）

∴MN⊥BC.

在Rt△BCF中, MF=BC/2=BM,(直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，这个定理很重要)

又AB=AF, ∴AM垂直平分BF, （垂直平分线的判定定理）

∴∠BAM=∠FAM,（可以用全等三角形的性质说明，也可以用轴对称的性质说明）

又∠BAM=∠AMN,(它们是平行线MN和AB的内错角)

∴∠AMN=∠FAM,

∴MN=AN=ND,

∴以AD为直径的圆与BC相切.

(3)分析：如图，注意△ADE的面积是△DEF和△AEF的面积和，它们有公共底，所以它们的面积和等于它们的高的和与公共底EF的积的二分之一，而它们的高的和等于BC，所以只要求BC与EF的积的二分之一就可以了。BC=BE+CE，而BE和CE分别是两个直角三角形的直角边。这两个直角三角形可以求得它们都含有30度角，利用锐角三角函数就可以求得BE和CE的长，从而得解。

(3)解：∵AB//CD//EF, ∴∠A=∠DFE=120度,

∵AB=AF, ∴∠AFB=(180度-120度)/2=30度,（等腰三角形底角公式）

∴∠BFE=180度-120度-30度=30度,（三个角构成平角）

∠CFE=∠BFC-∠BFE=90度-30度=60度,

在Rt△BEF中, BE=EF·tan30度=2倍根号3/3.

在Rt△CEF中, CE=EF·tan60度=2倍根号3.

△ADE的面积为：EF·BC/2=EF(BE+CE)/2=8倍根号 /3.

怎么样？你觉得这道题难不难呢？如果你有其它更好的解法，请不吝赐教，分享出来。