由一道周期函数判断题，分析判断周期函数的一般方法

这是一道与周期函数有关的高中数学题。要求判断一个函数是不是周期函数。先来看看具体的题目：

判断f(x)=sinx+sin(根号2 x)是否周期函数, 若为周期函数, 求其最小正周期；若不是，说明理由.

解：sinx的周期为2pπ, sin(根号2 x)的周期为根号2qπ, p,q∈Z且pq≠0,

如果f(x)是周期函数, 则必有2pπ=根号2 qπ,

即p/q=根号2, 矛盾！【因为两个非零整数的商不可能是一个无理数】

∴f(x)不是周期函数.

知识拓展：在无限区间上，判断周期函数最常用的方法有：

(1)设最小正周期T, 证明f(x+T)=f(x)或f(x+T)≠f(x)，前者说明f(x)是周期函数，后者说明f(x)不是周期函数。当然具体问题可以用不同的方法，比如证明f(x-a)=f(x+b)，也可以证明f是周期函数。

(2)将函数化为外函数是常见周期函数的复合函数。比如转化成f(x)=Asin(ωx+φ)或f(x)=Acos(ωx+φ)的形式，那么函数的周期就是2π/ω. 也可以利用正切或余切函数来证明。

(3)将原函数看作两个周期函数的和，若两个函数的最小周期分别为T1,T2, 则当T1,T2除以某一个非零的数a时，得到非零整数p,q时，即T1=ap, T2=aq，那么p,q的最小公倍数与这个数a的积就是原函数的最小周期。

三种方法老黄都尝试过了，前两种方法似乎走不通，或者说，走到最后都要运用到第三种方法，所以只好用第三种方法来解决了。

当然判断周期函数还有很多不同的方法，比如R上的偶函数或奇函数f(x)关于直线x=a对称，则f(x)是以2a为周期的周期函数等。若有什么不足，欢迎大家补充。

更多相关：

这道高中数学题运用到了高数中的黎曼函数，算不算超纲了呢？

高中数学函数多选题，这种题目对高中生来说太难了

保证你没有见过这么简单的中考数学压轴题，来自上海杨浦2021中考

上海市杨浦区2021中考数学关于圆的解答题，轴对称性质的极致运用

2021年大庆市中考数学卷的选择题压轴题，抛物线相关说法，有陷阱