线性代数：相似矩阵及二次型基本概念与定理整理

向量的正交性：两个向量之间的夹角为90度，两个向量正交；

正交基：V空间中的一组基如果两两正交，称为一组正交基；

标准正交基：V空间中的一组向量两两正交，且向量长度为1，则称为标准正交基；

施密特方法：通过该方法可以将向量空间的一组基变为标准正交基；

正交矩阵：如果n阶矩阵满足A*A^T=E，（A与转置的乘积为单位矩阵）则称为正交矩阵；

正交变换：如变换y = Ax中，A为正交矩阵则改变换为正交变换，正交变换的重要特性是：变换前后|y|=|x|，变换后形状不变。

方阵的特征值与特征向量：Ax = ax，则a称为方阵A的特征值，x称为特征向量；求法也很简单(A-aE)x=0，解出特征，然后带入该公式求每个特征值的x也就是特征向量。一般有多少个特征值就有多少个特征向量。有几个推论：

定理：如果特征值互不相同，则特征向量线性无关。（线性无关的一组特征向量就构成了一组基）

矩阵相似：如果存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，称为A与B相似

定理：相似矩阵的个整多项式相同，且有相同的特征向量；

定理：n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是有N个线性无关的特征向量；

定理：如n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角矩阵相似；（矩阵可以对角化）

性质：对称矩阵的特征值是实数；

性质：对称矩阵特征值不相等，对应的特征向量正交

定理：A为对称矩阵，则必有正交矩阵P，使得P-1AP=a（以特征值为对角元的对角矩阵）

定理：n阶对称矩阵有k重特征根，对应有k个线性无关特征向量；

二次型及其标准型

对于有中间项的二次方程，而可以通过坐标旋转，简化为标准形（不含中间项）ax^2+bxy+cy^2=1变成cx^2+dy^2=1;

定理：给定任意二次型，总有正交变换使其转化为标准形；就是总能找到正交变换将其转变为标准形。一个椭圆长短轴不是坐标轴的时候，就是一个二次型，所以用长短轴作为坐标轴它就是标准形了，这个变换从理论上讲一定是存在的。变换的方法就是求二次型矩阵的特征值。

正定：二次型变形后值恒为正，称为正定二次型，反之称为负定；（对称矩阵A的特征全为正）