线性代数：重温向量、向量组、向量空间的基本概念

线性代数最难理解的部分就是向量空间中的应用，这里面绕来绕去很容易被搞糊涂。首先从概念说说起：什么是向量？就是一组数，（x1,x2...,xn），这组数不光有大小，还有方向。比如我要从上海出发到北京和从北京出发到上海，虽然距离不同，但是旅行的方向不一致，所以在向量空间中它们是两个东西。向量可以用一组数描述，那么一组数放在一起呢，自然就想到了不就是矩阵么。线性代数中约定矩阵中的列代表向量，行代表向量的维度如（x1,x2...,xn）就是一个n维向量。这个东西有什么用呢？

我们先看一下二维向量，就是有两个数的向量（x,y），这个东西我们一看就反应过来了，这不是也可以看作是解析几何中的一个坐标嘛，那(x,y,z)就可以代表空间中的一个点啊，这个就是笛卡尔的杰出贡献！他发明了笛卡尔坐标系，通过这个坐标系我们就可以将代数和几何关联起来了，就有了解析几何（也是中学数学中最难的部分之一），有了解析几何才有了现代科学的巨大进步。那么(t,x,y,z)呢，这就是爱因斯坦老爷爷说的四维时空了，增加了一个变化的时间维，目前科学家推算出来的最高的是10维空间。所以一个人状态可以用四维时空坐标来描述。

用二维空间举个例子简单说明一下向量空间的一些基本概念：我们常见的平面直角坐标系中的x,y轴上两点(1,0),(0,1)，只需要这两个向量通过加法和数乘运算就可以表示整个空间中其他向量（对加法和数乘封闭，张成了二维向量空间），而空间中任意向量的位置（x,y)称之为空间坐标（向量空间中的坐标）；因为（1，0）和(0，1）这两个向量是相互垂直夹角为90度，所以不能用线性关系相互表示（向量组线性无关）；而且用这两个向量可以表示空间中任何一个向量，用1个不够用3个多了（最大无关组）。上述这些概念在二维、三维向量空间我们可以想想出来，就是平面直角和立体，三维以上的空间我们无法用几何图像来直观看到，所以这些基本概念放到二维空间中来理解更容易一些。数学的语言讲出来实在是太绕了，说白了就那么回事。

有了这些概念就可以将矩阵的理论应用到向量的分析去了，比如向量空间中坐标轴的旋转，对应着基坐标的变换，因为高维空间的运算无法图像化就只能依靠矩阵的理论进行分析。