信号与系统：傅立叶变换性质的应用滤波、调幅

为什么傅立叶变换那么重要？因为是整个通信和信号处理的基石。我们知道线性时不变系统可以表示成为y(t)=x(t)*h(t)，x(t)可以看成是信号（时间的函数），h(t)可以看成是脉冲的系统响应。系统处理的结果是两者的卷积，在时域中计算卷积是非常麻烦的。如果对上式进行傅立叶变换后，可以写成频域形式：Y(w)=X(w)H(w)。所以时域复杂的卷积运算变成了频域的乘法运算，这样变换后我们就很方便的在频域中进行信号的处理，比如乘上一个频域的方波函数就可以变成一个滤波器，然后将结果变换到时域就完成了滤波，非常简单。

同时还有一种重要的应用就是调幅。因为信号在低频段的时候传输的距离有限，损耗比较大，就和高压输电一样，提高传输电压可以提高传输效率。如何将信号的频率提高从而降低损耗呢，这里就用到了傅立叶变换的特性。因为傅立叶变换是对称的，时域的卷积等价于频域的乘积，而时域的乘积同样转变为频域的卷积。我们知道复指数函数、正弦函数变换到频域分别为脉冲函数，在频域中与其卷积可以视为将信号在指数函数或正选函数频率处复制该信号！所以只要在时域乘上一个复指数函数或正弦函数就可以将信号频提升至所需的传输频率，乘积就称为调制，而信号所乘的函数就称为载波，非常形象就像信号坐上了飞机想飞多高飞多高，很好的解决了长距离传输的问题。