线性代数：矩阵的初等变换与线性方程组

线性代数的一个重要的应用就是线性方程组求解。目前我们知道求解线性方程组有两种方法，一种是用克拉姆法则用行列式来求解，而另外一种就是用矩阵的初等变换来求解线性方程组。核心的思想就是通过线性变换（加减法和数乘），将线性方程组的系数矩阵变换成下三角矩阵，从而求解方程组。

有几个重要的定理：1、任何矩阵都可以通过初等变换将其变形为标准形（粗的理解成单位矩阵就行了，就是任何数都可以通过加减乘除变成1~E）；2、如果矩阵A可以变换为B，那么存在PAQ = B，P和Q为可逆的行变换矩阵和列变换矩阵，矩阵左乘一个初等矩阵相当于进行了一次行变换，右乘一次初等矩阵相当于进行了一次列变换。通过初等变换的矩阵与原矩阵具有等价性。如果方阵的是可逆的，那么就一定可以用初等变换将其变换为标准形。即通过初等变换的方法，不用求行列式也能求解线性方程组。和信号处理里面的傅里叶变换、小波变换一样，就是将原问题变形成为另外一个对等形式来研究，而变换后的形式具有某些便利性。

同时，初等变换的方法引出了一个非常重要的概念，就是秩！通过对秩的讨论，可以得出线性方程组的解的判断。矩阵的初等变换将矩阵变换为标准形，非零行的个数就是矩阵的秩（最高阶非零余子式的阶数）。n元线性方程组Ax=b无解、有唯一解、有无限多解情况，分别对应着R(A)