信号与系统：傅里叶变换的意义

傅里叶变换是信号分析中最重要的工具没有之一。对于一个复杂输入信号我们除了用单位冲击信号来分解方法以外，还可以将其分解为复指数信号，对于周期函数来讲这个分解成为傅里级数对于非周期信号称为傅里叶变换。分解是现代科学的最主要的方法，即将一个看上去很复杂的事物分解为简单事物来处理。在信号处理领域也是一样的，一个看上去非常没有规律的信号如何挖掘其背后的信息呢？是否能找到工具将其一层层拨开来，而单位脉冲信号、复指数信号就是人们发现的优秀的分析工具，当然对系统也有一定的要求，那就是线性性、时不变的。

前面的文章在卷积里面介绍了将输入信号分解为单位脉冲后，输出可用单位脉冲的系统响应与输入的卷积表示，我们只要知道了单位脉冲的系统响应就可以知道任何时刻系统的输出。而复指数信号则是另外一种优秀的分解工具，就是可以将信号分解为各次复指数信号（谐波）组合，而复指数信号具有本征函数的特性，使得系统响应的计算大为简化。本征性就是计算前后函数的形式不变只是幅度变化，e^jwt的系统响应依然是h(w)*e^jwt的形式，所以复指数信号的系统响应仍然是复指数信号，同时它能够用来分解绝大多数的信号，适用性好。不管是单位脉冲信号也好、傅里叶变换也好，把握“分解”这个基本思路，就能从整体上理解这些变换是在干嘛。

图 方波信号可分解为各次谐波

古希腊的德谟克里特提出了原子论，认为这个世界是由原子这种基本粒子组成，单位脉冲信号、复指数信号也可以看作是信号分析中的原子。