神经网络在微分方程的应用

自然科学（如物理学、化学、经济、金融等）和工程技术中的许多问题最终

通过数学模型的方式转化为微分方程的形式（常微分方程、偏微分方程、积分-

微分方程等），同时，线性代数、李群理论、控制理论等数学理论的发展也离不

开对微分方程理论与求解的研究，17 世纪末到 18 世纪，求微分方程的通解表

达式被认为是研究微分方程的核心问题，但是，由于各种原因，很快使得研究者

逐渐放弃了这种“求通解”的想法。大量的从实际问题通过数学建模得到的微分

方程都无法求得其通解，只能通过求其数值解的方法来满足实际问题的需要。因

此，微分方程的数值解法在科学计算、工程技术等领域有着极其广泛的用途。

传统的微分方程数值解法如 Euler 法、Runge-Kutta 法、有限差分法、有限元

法等也存在一些缺陷，例如只能得到步长点的函数值，收敛速度慢，计算量非常

大 ,导致普通办公用 PC 机无法完成计算任务等情况。这些困境很常见，例如，

金融大数据中金融风险的准确实时度量和预测问题、社会公共管理中应急目标排

序问题等，这些问题通常其模型表现为随机过程方程，其解极有可能满足某个微

分方程形式，都体现数据量巨大且要求实时获取模型精确解的特征。保险精算中

保险风险的度量问题就是一个典型问题，因为在保险精算中，破产概率满足一个

微分方程，通常需要通过求此微分方程的数值解来度量保险风险，并通过历史风

险数据，预测最近时间段风险大小，通过了解各种风险而采取排查风险措施，做

好应急措施。

近几十年来，风险理论发展迅猛，已经提出许多风险模型,如经典复合

Poisson 风险模型、Erlang 风险模型、重尾相依风险模型和许多更接近描述现实

的扩散型风险模型 [1-7] 等，研究范围也在不断地扩大，而且更具有能解释现实中

发生的某些特殊风险现象。但是，对于绝大多数的保险风险模型，我们目前只得

到其破产概率所满足的积分-微分方程，而这些积分-微分方程一般都非常复杂，

无法求出它的显示解，一些风险模型精确的破产概率只有在索赔服从指数分布或

者离散分布的有限值时得到。绝大部分风险模型在索赔服从其它分布的时候，无

法精确救出破产概率的精确值，只能估计它们的可行域。

传统的微分方程数值解法在风险度量中不能实现及时获取保险公司瞬时盈

余值和破产概率值这一重要要求，更不能求出每一时刻的瞬时盈余值和破产概率

值。若能探索出一种新的微分方程的数值解法及时地求解出本文中积分-微分方

程中每一数值点的精确数值解，不仅仅能及时有效的防范和管控保险风险，还可

以将该理论方法应用到更多需要求解微分方程数值解的领域。新的微分方程的数

值解法将在科学计算、工程技术等领域有着极其广泛的用途。所以，研究探索一

种新的更高效的微分方程的数值解法不仅有着广泛的应用前景，而且其算法有着

深远的理论和现实意义。

目前，人工智能和大数据技术席卷全球，人工智能的各项技术已经进入了加

速发展的轨道,并应用到自然和社会科学的各个方面与领域，并将以全新的方式

和方法对各领域传统的方法产生不可估量的影响。随着云计算和高效的计算环境

的出现，较为高端的人工智能所需要条件近年来开始得到满足，机器学习作为是

人工智能的一个核心部分，表现更外亮眼。

机器学习是人工智能研究较为年轻的分支,神经网络是机器学习人工智能研

究较为年轻的分支，目前已有几十种不同的传统的学习型神经网络模型。最新出

现的浅层神经网络技术是黄广斌教授等研究者提出了 ELM（Extreme Learning

Machine）算法 [8] ,因其简单高效的特点，在复杂非线性问题求解、工程技术、大

数据分析与处理等领域得到了广泛的应用。若从基于克服传统数值解法缺陷着眼，

探索利用现代人工智能算法如最新的神经网络 ELM 对积分微分方程数值解的计

算研究，不仅在理论方法上是一种算法上的创新，而且具有广泛的应用前景，可

以推广到各种求微分方程的数值解中，解决工程中和科研中所遇到的快速且比较

精准微分方程数值解的难题。不仅如此，对这种探索推广，扬长避短地利用现代

人工智能算法如机器学习算法、基于梯度的神经网络算法、ELM 算法、LS-SVM

算法，RBF 神经网络算法来求工程技术中的常微分方程、偏微分方程、积分-微

分方程的数值解，并可以应用到实际的科学研究与工程技术中，如电磁场中双导

线有损与无损传输线偏微分方程组、多导线有损与无损传输线偏微分方程组、流

体传热的 N-S 偏微分方程组、保险精算的复合 Poisson 风险模型破产概率所满足

的积分-微分方程、Erlang(n)风险模型破产概率所满足的积分-微分方程，Cox 风

险模型破产概率所满足的积分-微分方程、一般风险模型中的 Gerber-Shiu 函数所

满足的积分-微分方程等等的数值解的计算中，具有深远的理论方法意义和现实

意义，应用前景非常好。

另外，在国内的保险风险管控技术中，破产是高风险的小概率事件，除了能

测算出索赔服从任意分布下每一时刻比较精确的破产概率数值解外，能对保费收

入、赔付、盈余和破产概率等指标进行有效的短期时间序列预测对保险公司防范

和管控风险也具有重要的参考意义。

而对于保险业来说，与股票指数和股票价格的变化类似，保费收入、赔付、

盈余和破产概率对保险风险来说是非常重要的信息，目前关于保险市场时间序列

预测的文献特别少。传统的预测方法是建立在线性模型的基础上 [9] ，但保险市场

中许多因素如政治、经济、社会等外界影响和公司内部许多因素对保费收入、赔

付、盈余和破产概率之间存在非线性关系。这些数据在本质上表现出动态的、非

线性的、非参数的、混沌的等特征。为了弥补这一缺陷，近年来，许多学者采用

人工智能的方法，其中，利用神经网络的时间序列预测应用最为广泛、成功率高

对非常高，但因为神经网络（NNs）有很多弊端，例如过于拟合 [ 10] ，不稳定 [ 11 ]

以及过拟合问题导致泛化性能差 [ 12-14 ] 等现象。 虽然 一些文献提出了一些建议

性的方法 [15-23] ，在一定程度上解决了些许具体问题，但糟糕的是，这些方面都是

侧重于消除以上弊端中之一，所暴露出来的问题与准确高效存在较大差距。因此，

提出一种高效的神经网络结构优化方案的需求已迫在眉睫。

显然，对最优神经网络结构的研究，远不止提高对保险风险模型破产概率的

计算精准度和破产预测精准度这点益处，它将提高在分类、数据挖掘、函数逼近、

计算机视觉、专家系统、自然语言处理、模式识别、搜索引擎、医学诊断、价格

预测、检测信用卡欺诈、证券市场分析、DNA 序列测序、语音和手写识别、战略

游戏和机器人运用等非常多的应用领域提高性能。

综上所述，本文探索利用最新人工智能算法与大数据技术相结合的理论与方法，其意义远不止通过求解满足积分微分方程风险模型破产概率和破产预测来管

控风险上，还能解决在科学研究和工程技术中许多领域的求解和优化中，其应用

前景十分广泛，具有非常深远的理论与现实意义。

由于 ELM 相对于传统神经网络的优越性，本项目还可以将机器学习的模型与

算法进一步进行改进与推广到增量 ELM（I-ELM）、双向 ELM（B-ELM）、剪枝 ELM

（P-ELM）、自适应 ELM（A-ELM）、LS-SVM 等模型与算法中，也可以推广到深度学习算法模型与算法中，并应用到更为广泛的工程技术应用的微分方程如：流体传

热的 Navier-Stocks 方程组、期权定价的 Black-Scholes 方程中去。因此，本项

目的研究具有广阔的应用前景与理论价值。