摄动平衡中寻得宁静致远——小记冻结轨道

本文转自微博超超级Loveovergold

前言：“...卫星被准确送入近地点738公里、远地点750公里、倾角98.5度的太阳同步轨道...”不少人犯嘀咕，近地点和远地点总是有偏差，为什么就不能打个漂漂亮亮的标准圆轨？殊不知，这细小的偏差是刻意而打的小偏心率轨道，本期介绍一种在摄动中寻得宁静致远的实用卫星轨道——冻结轨道。

采用太阳同步轨道的卫星能利用较为稳定的太阳入射条件，在相同光照条件下重复观察地面目标，这似乎是非常完美的解决方案！可高性能的测地卫星要求在不同时间通过同一地区时的高度尽可能不变，但卫星椭圆轨道的长轴（又称拱线）会因为摄动在轨道面内旋转，卫星通过同一纬度地区时的高度会有几十公里高程变化。

对卫星高度进行轨道机动修正显然是非常费神烧钱的手段，因此获得的遥感数据就需要根据卫星星历进行大量的高度补偿和几何修正等后期处理工作，这对于地形测绘、海洋勘测等高精度要求的卫星观测项目来说变成了拦路虎，本期介绍目前应用广泛的冻结轨道，这种轨道拱线方向固定、偏心率小，卫星飞越等纬度地区上空的高度如一，对于测地等进行垂直剖面的科学测量非常有利，常被用于大气探测卫星、海洋卫星、陆地卫星等。

图1. 椭圆轨道拱线旋转造成卫星通过同一纬度地区时的高度会有几十公里高程变化

说起这个冻结轨道的起因要回溯到1972年，当年美国国家航空航天局（NASA）启动了Seasat卫星（海洋卫星，下简称海卫）项目，这是第一颗专门用于海洋观测的多传感器卫星，收集有关海风，海面温度，浪高，海洋地形，大气水含量和海冰形态和动力学的数据，是第一颗运用星载合成孔径雷达技术（SAR）的海洋勘测卫星（详见《看天线，识卫星----漫谈卫星天线（三）》）。海卫卫星依靠合成孔径雷达成像，分辨率达到25米；依靠高精度雷达测高仪测绘，星下点海浪测高精度达到±10cm，为了提高测绘精度，最大程度地减少轨道扰动的影响，使仪器的数据质量最大化，NASA在卫星项目书上列了很多约束条件，对卫星运行轨道提出了很高的要求，要求轨道高度要求控制在858公里～761公里区间内，高度变动控制±50米/秒，要求偏心率越小越好。

这个开拓性的海卫项目交给了JPL（喷气推进实验室）具体负责，项目组中有一位非常能干的专家伊利奥特·卡廷（ElliottCutting），顺便说一句，就是这位卡廷在1965年敏锐的捕捉到引力弹弓技术，并慧眼识才、穿针引线促成了旅行者号的行星之旅计划，1974年获得NASA卓越服务奖章，这是NASA排名第二的高规格荣誉。在海卫项目中，卡廷带领他的团队开展了攻坚。

卡廷带领的小组认为解决这个问题的方案有两个方向，一是能否找到一股神奇的力量，把椭圆的拱线固定不变，固化近地点辐角；二是减小椭圆的偏心率，尽可能接近圆形并维持不变。从数学角度定义这两个目标即为：近地点辐角（升交点到近地点的地心张角）对时间变化为零，偏心率对时间变化为零。基于勃劳威尔（Dirk Brouwer）在1959年发表的《Solution of the problem of artificial satellite theorywithout drag》中的轨道力学摄动理论，考虑地球非球形摄动的一阶、二阶项，即J 2和J 3项，J 2表征地球的扁率，常称为地球扁率摄动，是地球非球形的主要摄动，J 3项则反映地球南北不对称，地球呈梨形，北极地区约高出18.9米，南极地区则凹陷24～30米，把摄动函数代入拉格朗日摄动方程，要达到拱线和偏心率固定，下述两式要为0！

公式中R为地球半径，n为卫星平均角速度， a为轨道半长轴，i为倾角，e为偏心率，ω为近地点辐角。先简化问题，仅考虑J2项，令J3=0，dω/dt方括号内等于1，de/dt=0，冻结轨道存在条件简化为1-5(sini)^2/4=0，即上式标红部分，可以得出轨道倾角等于63.4或116.6，这个倾角即为临界倾角轨道，也就是大家熟悉的闪电轨道或莫尔尼亚（Molniya）轨道，在《太阳同步轨道，倾角总在98度处》 文章中讲到苏联的“闪电”号通信卫星倾角选择了大偏心率临界倾角轨道，避免了椭圆轨道拱线漂移，卫星远地点始终在苏联领土上空，加之卫星在远地点的速度最小，故可以在较高的高度运行较长的时间 ，保持苏联国内较长的通信时间。不过要补充一句，闪电轨道面存在进动，并不是严格意义上的“静止”，在苏联没有合适的大型运载火箭发射地球静止轨道通信卫星时，就一直采用3颗闪电通信卫星实现高纬度地区通信，可以说是低配版的静止轨道通信解决方案。

肩负极地冰层覆盖普查的近地轨道海卫卫星显然不能采用临界倾角，因为阿拉斯加北部海湾的纬度达到72度，超过了63.4度的倾角，所以近地轨道要实现对全球有效测量不能选择这种特定倾角方案。那么联合考虑地球扁率J 2和J 3的叠加摄动影响，如果ω=90°或者270°，cosω为0，下式de/dt=0，再令上式方括号蓝色部分为0，对于1000公里以下的近地轨道，把ω=90°代入并忽略偏心率的高阶小量，可以得到

也就是说当偏心率、倾角和轨道半长轴成一定关系，这个轨道的拱线偏心率就能固定，而不像闪电轨道需要特定的临界倾角。而且通过计算，偏心率在千分之几的范围，能非常好的满足海卫卫星的任务需求，另外冻结轨道是动力学方程的一个稳定平衡解，偏心率和近地点幅角的长期变化项为零，一旦轨道调整到这种轨道标称值附近，后续拱线将在一个较小范围内振荡，不需要进行主动控制。卡廷把这种轨道命名为冻结轨道(FrozenOrbit)，并把整个推导过程详详细细的记录下来，这17页的报告《Missiondesign for Seasat-A, an oceanographic satellite》于1977年在AIAA发表。

图2.海卫项目成为卫星海洋学的先驱

1978年6月26日，海卫-1卫星从加利福尼亚州VAFB（范登堡空军基地）发射进入倾角=108º，远地点= 799 km，近地点= 775 km，周期= 101分钟的轨道，这是第一颗采用“冻结轨道”的卫星，轨道的近地点保持在90度时，卫星飞越同一纬度地区上空的高度如一。任务初期非常顺利，入轨10天后SAR系统即启用，但后续由于电源系统短路，海卫-1在轨运行仅105天后即退服。不过它已对地球表面多达1亿平方千米的面积进行了全天候测绘，收集的海洋测高数据比过去一百年依靠船只研究获得的信息更多，海卫项目成为卫星海洋学的先驱。

图3.1978年8月27日的Seasat合成孔径雷达图像显示了马萨诸塞州的海岸

实践证明冻结轨道的概念是成功的，后续美国 在1985年 3月 I2日发射的一颗海洋测高卫星GEOSAT充分借鉴。由于海洋测绘任务设定的需要，海卫-1和GEOSAT这两颗雷达星设定108度倾角，在800公里高度是无法选择太阳同步轨道。

但事实上，太阳同步轨道合理处理倾角、偏心率和半长轴之间的关系，同样可以达到冻结的效果，并且兼顾回归特性。LANDSAT系列光学地球资源卫星进行了太阳同步轨道+冻结轨道的尝试，希望对得到的遥感光学图像的几何校正工作降至最小。LANDSAT-5为了进入冻结轨道可以说是志在必得，精心设计了入轨方案：

1、轨道负偏置，入轨做加法：实际发射任务中，运载火箭受到各种因素影响，不会一步到位把卫星直接送入准确的目标轨道，需要卫星通过自身发动机来进行入轨和后续的轨道调整维持。而火箭如果把卫星射高了，卫星还需要180度掉头减速才能降低轨道高度。LANDSAT-5入轨方案稳妥保守，仅要求运载火箭把卫星送入离目标冻结轨道低约12公里的初始轨道，即初轨的半长轴留了12公里的负偏置，后续自己来，依靠卫星多次点火加速，提升轨道并精确入轨。

2、8次点火，推力校准精确入轨：计划实施8次点火，初期小步快跑，200米为单位提升轨道半长轴，并校准推力系数，后续6次较长时间的点火满足精确入轨和与LANDSAT-4卫星工作周期的调相，两颗卫星轨道相位相差180度，黑白两班倒负责对地球24小时观测。

这个策略稳扎稳打，LANDSAT-5于1984年3月1日从范登堡空军基地发射，从3月7日到4月4日，LANDSAT-5通过8次点火升轨操作，准确进入太阳同步冻结轨道，并和LANDSAT-4联袂，昼夜不停实现8天对全球的观测。在这次发射中，德尔他3920火箭给卫星倾角一个正偏置，满足未来18个月中，太阳、月亮引力对卫星倾角的摄动影响。Landsat-5卫星超长服役，一直工作到2013年，整整30年所获影像是迄今为止在全球应用最为广泛、成效最为显著的地球资源卫星遥感信息源之一，这当中冻结轨道对于减轻遥感数据的后期处理发挥了不小的作用。后续，欧洲的地球观测卫星ERS-1，ERS-2和Envisat也选择了太阳同步冻结轨道。

尽管卡廷在论文中写的冻结轨道方程看上去简单，但如果仔细计算，按照论文中的公式，冻结轨道的偏心率为0.001，但最终给出的结论是0.0008，差异幅度达到20%。事实上，最早由库克（G. E. Cook）在1966年进行的分析，仅考虑地球重力场J 2和J 3两项并不能准确计算冻结偏心率，对于倾角为50到130度的轨道，考虑J 2～J 21带谐项计算得到的冻结偏心率要比仅考虑J 2和J 3两项低约20%，这背后的推导相当复杂，但论文中并没有展开，如果没有吃透冻结轨道的精髓后果不堪设想。国内不少学者在上世纪80年代及时开展了跟踪研究，其中南京大学刘林教授和北京空间飞行器总体设计部的杨维廉研究院深入研究了这种轨道的存在条件、特征、稳定性和应用并发表了多篇论文。

图4.左为南大刘林教授（1936～），右为现任中国空间技术研究院轨道设计师杨维廉研究员

两位老前辈辛勤工作，开展的大量基础研究为后续国内突破冻结轨道技术立下了汗马功劳，1999年10月14日我国发射地球资源卫星“资源一号”01星，这是我国第一颗实时传输型对地遥感卫星，在国内首次突破了太阳同步回归冻结轨道控制技术，其入轨策略和美国LANDSAT-5可以说是英雄所见略同，初轨34km负偏置、5组7次轨道机动策略获得了极高的太阳同步回归冻结轨道入轨精度，卫星沿不同轨迹通过同一纬度时的高度只有百米量级的变化，另外保留倾角正偏差节省10公斤推进剂。“资源一号”01 星的首发成功被两院院士评为1999 年中国十大科技进展之一，达到了国际先进水平。

事实上冻结轨道是各种常谐项平衡的结果，即偶次带谐项引起的近地点辐角的长期摄动被奇次带谐项引起的长周期摄动所平衡，这句话如同上述公式一样，会让读者感觉轨道力学的高深和晦涩......航天确实非常难，但要感谢刘林和杨维廉两位老师，他们不仅在学术上是领军人，而且还编写了大量的教材，为国家培养了很多轨道力学人才，桃李满天下。两位专家的步伐并未就此停止，他们的目光转向了深空探测，研究在地外行星是否存在满足测绘需要的冻结轨道，刘林老师在2003年6月发表了《关于大行星(或月球)轨道器的冻结轨道》，杨维廉担任了嫦娥一号卫星轨道设计师，培养了团队并发现了在极月轨道附近存在圆形的冻结轨道，2011年5月发表《火星卫星的冻结轨道研究》，这些基础理论研究成果的发表，让我们值得期待今年我国在火星探测项目上的跨越式迈进！

参考：

1.Cutting, E., Born, G. H.,Frautnick, J. C., McLaughlin, W. L., Neilson, R. A., and Thielen, J. A.: 1977,“Mission design for Seasat-A, an oceanographic satellite,” AIAA Paper no 77–31.

2. 杨维廉,资源一号卫星轨道:理论与实践，航天器工程2001年3月刊

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