逻辑学笔记

1 绪论

1.1 词项、命题和推论

1.1.1 词项

逻辑是一门以推论为主要研究对象的学科

推论是由命题组成的

而命题又是由词项组成的

现代逻辑所说的“词项”、“命题”和“推论”

分别对应于传统逻辑所说的“概念”、“判断”和“推理”

词项就是具有意义的语词

例如：

这几个有意义的是词项：“电车”、“飞”、“红”

这几个 没意义的不是词项：“啊”、“吗”、“的”

前一组的三个语词都是有意义的，因而它们都是词项。

后一组的三个语词虽然具有某种语言的功能

但它们本身都不具有意义，因而它们都不是词项。

词项的意义可被区分为两个不同的方面：

（1）外延

（2）内涵

一个同项的外延就是该词项所指称的一类对象

例如：

“电车”的外延就是各个具体的电车

包括电动摩托车、电动汽车、电动三轮车、电动滑板车等等

其实就是各个具体的电车实例

“飞”的外延就是各种具体的飞行

包括飞机的飞行、鸟的飞行等等

其实就是各种具体的飞行运动实例

一个词项的内涵就是该词项所指谓的一种属性

并且这种属性能够把一类对象与他类对象区别开来

“电车”的内涵是“利用电力行驶的车辆”

其实就是“电车”的定义

“飞”的内涵是“一种在空中进行的来往运动”

其实就是“飞”的定义

并非任何词项都同时具有外延和内涵这两个方面

有些词项虽然指谓某种属性，

但与该属性相对应的事物并不存在

例如：

“光速火车”、“方的圆”、“神仙”等

这几个词只有内涵没有外延

有“光速火车”的定义

世界上却没有真实的光速火车实例

从外延方面

词项可以分为：

单独词项（或专有名词）

普遍词项（或普通名词）

单独词项就是其外延只有一个成员的词项

例如：

“鲁迅”、“太阳”、“中国的首都”等

世界上只有一个鲁迅和一个太阳

遍词项就是其外延不只有一个成员的词项

例如“人”、“行星”、“中国的城市”等

世界上有许多人和行星

从作用方面

词项可分为：

个体词项

属性词项（即谓词）

逻辑词项

个体词项的例子有：

“这张桌子”、“那张椅子”、“天安门”等

属性词项的例子有：

“红的”、“人”、“大于”等

逻辑词项的例子有：

“并非”、“或者”、“并且”、“如果···那么···”、“所有”、“有些”等

词项的意义也叫做“概念”

词项意义的两个方面即内涵和外延也是概念的两个方面

因此，词项也就是表达概念的语词

1.1.2 定义

定义的作用在于规定或说明一个词项的意义

词项的定义有两种

内涵定义

外延定义

通常所用的定义大都是内涵定义

内涵定义的作用在于规定或说明一个词项的内涵

例如：

下面两个定义都是内涵定义：

（1）行星就是沿椭圆轨道环绕太阳运行并且本身不发光的天体

（2）矩形就是直角的平行四边形

（1）和（2）中的定义项分别表达了“行星”和“矩形”的内涵

最常用的一种定义方法是属加种差的方法

种和属是相对于两类事物之间的关系而言的：

当一类事物包含于另一类事物时

那个大的类叫“属”

那个小的类叫“种”

种差就是同一个属之内的两个种之间的差别

定义中的属和种分别指表达这两类事物的词项

例如：

对行星的定义

首先找到行星的属是“天体”

然后找到行星和其它天体的不同点

也就是是行星与其他天体之间的种差：

“沿椭圆轨道环绕太阳运行并且本身不发光”

再例如：

对矩形的定义

首先找到矩形的属是“平行四边形”

然后找到矩形和其它平行四边形的不同点：

“是直角”

外延定义的作用在于规定或说明一个词项的外延

下面两个定义都是外延定义：

（1）行星包括水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星和冥王星

（2）矩形包括长方形和正方形

（1）中例举了“行星”的外延的所有成员

这种列举一个词项的外延的所有成员的定义叫做“枚举定义”

枚举定义不适用于其外延包括无穷或大量成员的词项

对于“矩形”我们就不可能给出它的枚举定义

我们却可以将属于“矩形”的外延的那类事物分为几个小类

然后把这几个小类列举出来

这种外延定义叫做“划分定义”

（2）就是关于“矩形”的划分定义

还有一种特殊的外延定义即实指定义

实指定义就是通过直接显示一个词项的外延的一个

或一些成员来说明该词项的意义

例如：

当一个人指着一片颜色对他的孩子说：

“这是红色”

他正在给出关于“红色”的实指定义

实指定义是一种非语言的定义

1.1.3 命题

命题就是具有真假性质的语句

命题的三个特点：

（1）命题都是陈述句

（2）命题是可以被肯定或否定

（3）命题是或真或假的东西

例如：

小明是人类

北京在中国

你吃过饭了吗？

分析：

在上面的三个例子中

因为

（1）前两个例子都是陈述句

符合条件

“你吃过饭了吗？”不是陈述句

不符合条件

所以它不是命题

（2）前两个例子都可以被肯定或否定

如：小明不是人类

北京不在中国

符合条件

（3）前两个例子可以是真的或者假的

如：小明是人类就是真的

小明不是人类就是假的

所以“ 小明是人类 ”和 “北京在中国” 都是命题

1.1.4 推论

一个推论是一个至少由两个命题组成的序列

其中一个命题是根据其他命题推出的

例如：

①如果小张考上大学，那么，小张离开他的家乡

②小张考上大学

③因此，小张离开他的家乡

分析：

这个例子就是一个推论

这个例子包含了4个命题

命题③是根据命题①和②得出的

我们把命题①和②叫做前提

把推出的命题③叫做结论

推论由前提和结论组成

而结论是从前提“推出”的

出现在推论中命题的次序

不能作为辨识其结论或前提的依据

那么用什么来辨识呢？

有一些被叫做“结论指示词”的词或短语有助于这样的辨识

因为它们典型地适合引导出一个论证的结论

一些词或短语典型地适合作为论证结论的标志

因而被叫做结论指示词

通常，跟在任一结论指示词之后的命题就是某个论证的结论

下面所列的就是部分结论指示词：

所以

基于这些理由

因此

可推得

因而

我们可推出

故而

另一些词或短语典型地适合作为论证前提的标志

因而被叫做前提指示词

通常，跟在任一前提指示词之后的命题就是某个论证的前提

下面所列的是部分前提指示谓：

因为

正如······所示

由于

理由是

因

理由在于

根据

1.1.5 演绎推论与归纳推论

一个结论是从一些前提推出的

就是说，当所有这些前提真时

这个结论必然是真的

换句话说，当所有这些前提真时

这个结论不可能是假的

在前提和结论之间

具有这种推出关系的推论就是演绎推论

例如：

所有猫都会死

喵喵老花猫是猫

所以，喵喵老花猫会死

分析：

前提是

所有猫都会死

喵喵老花猫是猫

当这两个前提为真时

这个结论

喵喵老花猫会死

绝对不可能是假的

所以

这个推论是演绎推论

例如：

S中学前年的升学率高

S中学去年的升学率高

S中学今年的升学率高

S中学明年的升学率也高

分析：

前提是

“S中学前年的升学率高”

“S中学去年的升学率高”

“S中学今年的升学率高”

当我们知道这三个前提都为真时

我们自然会估计到结论

即“S中学明年的升学率也高”

但是，我们不能由此肯定这个结论是真的

因为我们不能排除S中学的升学率明年降低的可能性

所以

这个推论不是演绎推论

这个推论是归纳推论

总之，演绎推论与归纳推论的区别在于：

演绎推论的结论是从前提中必然地推出的

而归纳推论的结论并非从前提中必然地推出

而只是或然地推出的

1.2 推论的有效性和可靠性

1.2.1 推论形式、变项和常项

任何具体推论都有内容和形式两个方面

推论的内容就是推论所涉及的具体对象

推论所具有的共同结构就是推论的形式

例如：

如果天上下雨，那么地上潮湿

天上下雨

所以，地上潮湿

分析：

这个推论的内容是：

“天上下雨”和“地上潮湿”

我们用“p”代表命题“天上下雨”

用“q”代表命题“地上潮湿”

这个推论的结构就是：

如果p，那么q

p

所以，q

我们可以用任何一个具体命题代换p和q

我们把p和q叫做变项

变项的变化范围叫做“变域”

因为p和q分别代表的是两个命题

所以p和q属于命题变项

如果p和q代表的是词项的集合

p和q就是词项变项

如果p和q代表的是个体的集合

p和q就是个体变项

“如果···那么·..”这个联结词有着确定的含义

因此，我们不能用其他语词来替换它

我们把具有确定意义的词项或符号叫做“常项”

“如果……那么……”就是一个常项

具体地说，是一个联结词常项

1.2.2 推论的有效性

有效性是演绎推论的性质

当一个演绎推论的所有前提为真时

其结论必然为真

如果任何一个推论具有这种性质

那么，这个推论就是有效的

例如：

所有鸟是有羽毛的

所有麻雀是鸟

所以，所有麻雀是有羽毛的

分析：

这是一个有效推论

它的前提的真实性能够保证它的结论的真实性

而这一保证取决于推论形式：

所有M是P

所有S是M

所以，所有S是P

推论形式中的S、M和P都是词项变项

因而我们可以用任何词项来替换它们

例如：

我们还可以用“整数”、“正数”和“大于零的”

分别替换S、M和P

于是，我们就得到另一个推论：

所有正数是大于零的

所有整数是正数

所以，所有整数是大于零的

虽然这个推论的第二个前提和结论都是假的

但它仍然是一个有效推论

这是因为它所具有的推论形式保证了：

如果这个推论的所有前提都是真的

那么，它的结论不可能是假的

由此可见，一个推论的有效性取决于它的推论形式

而不取决于它的具体内容

我们把通过对一个推论形式中的变项作替换

而得到的一个具体推论

叫做该推论形式的一个替换例子

推论形式有效性的定义：

一个推论形式是有效的

当且仅当

该推论形式的所有替换例子

并非所有前提真而结论假

定义推论的有效性：

一个推论是有效的

当且仅当

它是一个有效推论形式的替换例子

1.2.3 反例

要确定某一推论形式是无效的

这只需要我们找出该推论形式的一个替换例子

该替换例子的所有前提是真的而结论是假的

这种所有前提真而结论假的替换例子叫做该推论形式的“反例”

根据推论形式的有效性定义

任何有效的推论形式都不会有反例

因此，我们一旦找出某一推论形式的一个反例

便能证明该推论形式是无效的

这种用反例来确定某推论形式无效的方法叫做构造反例的方法

例如：

如果p，那么q

q

所以，p

分析：

我们用“汉城在日本”和“汉城在亚洲”

分别替换推论形式3中的变项p和q

便得到这个推论形式的一个替换例子：

例如：

如果汉城在日本，那么汉城在亚洲

汉城在亚洲

所以，汉城在日本

分析：

推论的两个前提都是真的

而其结论却是假的

总之

一个推论的有效性取决于它的形式

而不取决于它的内容

1.2.4 推论的可靠性

就推论的前提和结论的真假组合而言

不外乎以下四种方式：

（1）所有前提真并且结论真

（2）所有前提真并且结论假

（3）至少有一前提假并且结论真

（4）至少有一前提假并且结论假

【定义】：

一个推论是可靠的

当且仅当

该推论是有效的并且它的所有前提都是真的

1.3 论证

1.3.1 证明与反驳

论证是推论的实际应用

论证包括两种：

证明

反驳

证明就是确定一个命题的真实性的推论

例如：

为了确定“月球上没有生命”这个命题的真实性

可以进行如下推论：

①如果月球上没有水，那么月球上没有生命

②月球上没有水

③所以，月球上没有生命

分析：

这个推论就是一个证明

一个证明包括三个因素：

论题、论据和论证方式

论题就是其真实性需要加以确认的那个命题

在例子中“月球上没有生命”就是论题

论题既是证明的开端，也是证明的终结

论据就是确认论题的真实性所依据的命题

例子中的前两个命题①和②就是论据

论证方式就是由论据到论题的推论形式

这个例子的推论形式为：

如果p，那么q

p

所以，q

反驳是确定对方的证明不成立的推论

要确定一个证明是不成立的

也可以从这三个方面着手：

驳对方的论题

反驳对方的论据

反驳对方的论证方式

反驳对方的论证方式就是指明对方的推论形式是不正确的

对于演绎证明来说

就是要指出该证明的推论形式是无效的

例如：

如果月球上没有生命，那么月球上没有水

月球上没有水

所以，月球上没有生命

分析：

这个论题的论证形式为：

如果p，那么q

q

所以，p

为了反驳这个证明的论证方式

你可以指出这个推论形式是无效的

如果必要

你可以构造该推论形式的一个反例

例如：

如果小明在跑步，那么小明在移动

小明在移动

所以，小明在跑步

分析：

小明在移动

不代表小明一定在跑步

小明有可能在坐车

说明这个推论形式是无效的

反驳对方的论题或论据

就是要确定对方的论题或论据的虚假性

最常用的方法是归谬法

例如：

目的：反驳命题A

假设：A真

证明：

如果A真则B真

但推倒出的B不为真

所以，A并非真

归谬法的基本思想是：

以被反驳的命题作为前提

推出荒谬的结论

这荒谬的结论

或者与已知为真的知识相违

或者自相矛盾

所以该结论都是假的

1.3.2 论证的基本规则

论证的基本规则：

矛盾律

排中律

同一律

充足理由律

论证是用于辩论的推论

而辩论的出发点是分歧

最基本的分歧是由一对相互矛盾的命题构成的

我们把一对矛盾命题记为：

A和非A

1．矛盾律

矛盾律可以表示为

A和非A必有一假

例如：

命题“月球上没有生命”

和命题“月球上有生命”必有一假

如果你证明了“月球上没有生命”

就是在间接反驳它的矛盾命题“月球上有生命”

2．排中律

排中律可以表示为：

A和非A必有一真

排中律要求辩论双方

对于作为分歧点的A和非A

必须肯定其中一个

根据排中律

任何一个对A的直接反驳

都是对非A的间接证明

任何一个对非A的直接反驳

都是对A的间接证明

3．同一律

同一律可以表示为：

A等于A

也可以表示为：

A和A同真或者同假

同一律要求辩论双方在整个辩论过程中

对A的态度要始终如一

如果一处肯定A

那么应当处处肯定A

如果一处否定A

那么应当处处否定A

4．充足理由律

充足理由律可以表示为：

A真是因为B真

并且由B可以推出A

充足理由律包括两个方面：

一是论据要真

二是论证方式是有效的

在论据上违反充足理由律的错误有三种：

虚假论据

预期理由

循环论证

所谓虚假论据

就是以已知为假的命题作为论据

所谓预期理由

就是以真假尚未确定的命题作为论据

所谓循环论证

就是论据的真实性依赖于论题的真实性

1.3.3 二难推论

二难推论是指：

辩论的一方常常提出一个断定两种可能性的前提

再由这两种可能性分别引伸出对方难以接受的结论

从而使对方处于进退两难的境地

例如：

我国古代流传着这样一个故事：

有个卖矛和盾的人声称他的矛能戳穿任何一个盾

他的盾能挡住任何一个矛

当一个顾客提议用他的矛去戳他的盾时

他立刻目瞪口呆了

分析：

这是因为他面临一个二难推论：

①如果你的矛能戳穿你的盾

那么你的盾没有你夸得那么好

②如果你的矛不能戳穿你的盾

那么你的矛没有你夸得那么好

③你的矛能戳穿你的盾或者你的矛不能戳穿你的盾

④所以，你的盾没有你夸得那么好

或者你的矛没有你夸得那么好

上面这个二难推论形式是：

如果p，那么q

如果r，那么s

p或者r

所以，q或者s

再例如：

中世纪的神学家们宜称“上帝是全能的”

有一个人向神学家提出挑战

他问道：上帝能不能创造一块连他自己也举不起来的石头？

神学家们立刻无言以对了

分析：

神学家们面临这样一个二难推论：

①如果上帝能够创造一块连他自己也举不起来的石头

那么上帝不是全能的（因为有一块石头他举不起来）

②如果上帝不能创造一块连他自己也举不起来的石头

那么上帝也不是全能的（因为有一块石头他不能创造）

③上帝能够创造这样一块石头或者上帝不能创造这样一块石头

所以，上帝不是全能的

上面这个二难推论的形式是：

如果p，那么q

如果r，那么q

p或者r

所以，q

1.3.4几种不正当的辩论手法

（1）人身攻击

在反驳对方观点的时候

不去揭露对方论或论据的虚假性

也不去指出对方论证方式上的错误

而是对对方的人格进行污辱

（2）滥用权威

不适当地引用权威人士的话

并作为不可置疑的论据来支持自己的观点

（3）强词夺理

明知无理

硬拿一些与论题无关的事实作为论据

来为自己的观点进行强辩

（4）复杂问语

复杂问语是这样一种问语

对它无论是肯定的回答

还是否定的回答

都意味着承认问话中预设的某个命题

2 命题达辑：符号化和真值表

2.1 一些基本槪念

2.1.1真值函项复合命题和真值函项琴结词

命题逻辑是以命题为最小单位的

简单命题就是不包含其他命题的命题

复合命题就是包含其他命题的命题

例如：

“罗索是一位哲学家”

这个命理不包含其他命题

因此它是一个简单命题

“罗素是一个哲学家并且罗素是一个数学家"

就是一个复合命题

因为它是以“罗素是一个哲学家”和“罗索是一个数学家”

这两个简单命题为其组成部分的

一个复合命题所包含的其他命题叫做“复合命题的支命题”

上面那两个简单命题就是那个复合命题的支命题

在一个复合命题中

把各个支命題联结起来的那个词项叫做“联结词”

上面那个复合命题中的“并且”就是一个联结词

常用的 联结词还有"或者”、“如果…那么…”、“当且仅当”等

一个联结词被真值函项地使用，

当且仅当，

由该联结词构成的复合命题的真值完全地决定于它的支命题的真值

例如：

（1）明天刮风并且明天下雨

（2）明天刮风在明天下雨之前

分析：

（1）是由“明天刮风”和“明天下雨”

通过联结词“并且”而构成的一个复合命题

如果这两个支命题都是真的

（1）命题就是真的

这表明

（1）的真值完全决定于它的两个支命题的真值

因而

(1)中的联结词“并且”是被真值函项地使用的

(2)的两个支命题也是“明天刮风”和“明天下雨”

它的联结词是“…在…之 前”

(2)的真值不完全决定于它的支命题的真值

(2)中的联结词“…在…之前”不是被真值函项地使用的

再例如：

“张三相信明天下雨”的联结词是“…相信…”

这句话的真或假并不由其支命题“明天下雨”的真或假来决定

所以“…相信…”不是一个真值 函项联结词

被真值函项地使用的联结词叫做“真值函项联结词”

由真值函项联结词构成的复合命题叫做“值函项复合命题”

(1)中的“并且”是一个真值函项联结词

因而 (1)是一个真值函项复合命题

(2)中的“.在…之前”不是一个真值函项联结词

因 而(2)不是一个真值函项复合命题

2.1.2 合取词和合取命题

例如：

罗素是一个 哲学家并且罗素是一个数学家

分析：

在这个命题是一个合取命题

联结词“并且”是被真值函项地使用的

由于这个复合命题的两个支命题

即“罗素是一个哲学家”和“罗素是个数学 家”都是真的

这就决定了这个复合命题是真的

我们用符号“∧”作为一个真值函项联结词

它的作用相当于被真值函项地使用的联结词“并且”

再用命题变项“P”和“Q”分别表示任何两个命题

该复合命题可以符号化为:

P ∧ Q

“∧”叫做“合取词”

“P∧Q”叫做“合取式”,

由“P∧Q”表达的命题叫做“合取命题”

在传统逻辑中又叫做“联言命题”

合取命题的支命题叫做“合取支”

一个合取命题为真

当且仅当

它的合取支都为真

合取命题的真值与它的合取支的

真值之间的这种函项关系

可以由真值表完全地反映出来:

这个表叫做“∧”的“特征真值表”

它精确地定义了“∧”的用法

这里“T”和 “F”分别表示“真”和“假”

表的左边列出了P和Q的全部可能的真值组合

即 TT、TF、FT和FF

表的右边列出了P∧Q

在其合取支的每一真值情况下的相应的真值

我们从此表中看到

仅当P和Q均为真时P∧Q为真

在其他三种情况下 P∧Q为假

2.1.3 析取词和析取命题

下面这个复合命题是一个析取命题

例如：

深圳位于广东省或者深圳在广州与香港之间

分析：

这个复合命题的支命题是两个简单命题

即“深圳位于广东省”和“深圳在广州与香港之间”

它的真值完全决定于它的这两个 支命题的真值

只要它的两个支命题中至少有一个是真的

它就是真的

如果它的两个 支命题都是假的

那么它就是假的

既然“深圳在广州与香港之间”是真的

我们可以肯定这个复合命题是真的

而无论“深圳位于广东省”是真的还是假的

这里的联结词“或者”是被真值函项地使用的

我们用符号“Ⅴ”作为一个真值函项联结词

它的作用相当于被真值函项地使用 的“或者”

再用命题变项“P”和“Q”分别表示任何两个命题

上面的命题可以符号化为:

P V Q

“V”叫做“析取词”,

“P V Q”叫做“析取式”,

由“P V Q”表达的命题叫做 “析取命题”

在传统逻辑中又叫做“选言命题

析取命题的支命题叫做“析取支”

一个析取命题为假

当且仅当

它的析取支都为假

析取命题的真值

与它的析取支的真值之间的这种函项关系

可以由真值表来刻画：

2.1.4 否定词和否定命题

在一个命题之前加上“并非”

就构成了那个命题的否定命题

例如：

在“所有人都 是哲学家”之前加上“并非”

就构成了这个命题的否定命题

即“并非所有人都是哲学家”

当前一个命题为真时

它的否定命题是假的

当前一个命题为假时

它的否定命题就是真的

我们引人一个真值函项联结词“¬”

即“否定词”

用以表达被真值函项地使用 的“并非”

“¬P”叫做“否定式”

由“¬P”表达的命题叫“否定命题”

“¬”的 特征真值表是:

2.1.5 蕴涵词和蕴涵命题

“如果……那么……”构成的复合命题叫蕴涵命题

例如：

如果夏季到来,那么天气变热

分析：

现在我们引入符号“→”作为一个真值函项联结词

它的作用相当于被真值函项地使用的“如果…那么…”

上面命题形式的任何命题可以符号化为:

P → Q

“→”叫做“蕴涵词”,

“P→Q”叫做“蕴涵式”

由“P→Q”表达的命题叫做 “蕴涵命题”

在“P→Q”中,

“P”所表达的支命题叫做“前件”

“Q”所表达的支命题叫做“后件”

“→”的特征真值表是:

由此表我们看到

仅当P真面Q假时

P→Q是假的

在其他三种情况下P-Q 都是真的

这也就是说,P-Q是真的

当且仅当

并非P真而Q假

具有“P→Q”形式的命题和具有“¬P V Q”形式的命题是完全相等的

为证明这一点,我们只需比较这两个公式的真值表：

2.1.6 等值词和等值命题

例如:

一个数是偶数,当且仅当，它能被2整除

分析：

这个命题是等值命题

我们再引人一个真值函项联结词“ ↔ ”

其作用相当于被真值函项地使用的 “..当且仅当…”

于是具有上面命题形式的任何命题可以符号化为:

P ↔ Q

“↔”叫做“等值词”

“P↔Q”叫做“等值式”

由“P↔Q”表达的命题叫做 “等值命题”

在“P↔Q”中

“P”和“Q”所表达的命题分别叫做等值命题的“左支”和“右支”

“↔”的特征真值表是:

如同其他联结词

“当且仅当”在日常语言中也往往不被真值函项地使用

例如:

（A）孔子死了，当且仅当，北京是中国首都

在通常情况下

(A)这个命题被看作是假的

甚至是无意义的

因为它的左支和右 支之间没有任何意义上的联系

但是当我们把(A)中的“当且仅当”看作一个等值词

从而把(A)看作一个等值命题

即：

(B) (孔子死了)→(北京是中国首都)

根据真值表

我们可以确定(B)是真的

既然它的左支“孔子死了”和右支“北京是中国首都”都是真的

由此可见（A）和（B）是有所不同的

在逻辑学中把由“↔”表达的等值关系叫做“实质等值”

用以区别“当且仅 当”在通常情况下所表达的那种更强的等值关系

2.2 命题的符号化

2.2.1 什么是命题的符号化

用人为规定的符号来表达一个命题

就是对一个命题的符号化

例如：

如果天上下雨,那么地上潮湿

分析：

T→D

就是对这个命题的符号化

在T→D中

T代表“天上下雨”

D代 表“地上潮湿”

T和D属于命题常项

“→”代表“如果…那么…”

属于逻辑常项

命题变项与命题常项的区别是：

命题常项代表某个具体命题

而命题变项代表任何一个命题

但从现在起

我们对符号化的讨论要更深一步

涉及三层语言：

自然语言命题

符号语言命题

表达符号语言命题的符号

我们要区分两种语言符号：

对象语言符号

元语言符号

在现代逻辑中

对象语言不是自然语言而是表达自然语言的符号语言

元语言则是表达这种对象语言的语言

2.2.2 一些常见的复合命题的符号化

出现在日常语言中的联结词

其用法是多种多样的

有些联结词甚至不能被真值函项地使用

如“…在… 之前”、“…相信…”等

我们只有对它们作出真值函项的释义之后

才能用真值函项联结词加以表达

对一个复合命题进行符号化

例如：

虽然老王有病，但是他坚持工作。

这个复合命题的联结词是“虽然…但是…”

它的支命题是“老王有病”和“老王 坚持工作”

为了对它进行真值函项的释义

不难看出

“虽然…但是…”与“并且”是完全相同的

因此可以被真值函项地释义为：

老王有病并且老王坚持工作

我们用命题常项B和G分别表示

“老王有病”和“老王坚持工作”

于是，这个命题可被符号化为：

B∧G

2.2.3 包含多个联结词的复合命题的符号化

当一个公式所含的真值函项联结词不止一个时

就需要对其中的符号进行分组

否则,它的含义往往是不确定的

例如:

如果明天放假并且天好那么小王划船或者游泳

分析：

这个复合命题含有三个联结词：

“如果…那么…”、“并且”、“或者”

根据这些联结词

我们很自然地将命题的支命题这样归组

用四个命题常项分别替换四个简单命题：

F：“明天放假”

T：“明天天好”

H：“小王划船”

Y：“小王游泳”

这个复合命题可被符号化为:

(F∧T) → (HVY)

当一个复合命题含有不止一个联结词时

其中必有一个联结词决定该复合命题的主要逻辑性质

这个联结词叫做复合命题的主联结词

在对这样的命题进行符号化时

主联结词处于括号的外边

例如：

上面的复合命题的主联结词是“如果…那么…”

因而在符号化中“→”处于括号的外边

我们把由主联结词联结的支命题

叫做“复合命题的直接支命题”

如：上面公式中的“F∧T”和“HVY”是它的直接支命题,

命题常项是复合命题的最小元素

因而可以叫做复合命题的“基本支命题”或“原子支命题”

2.3 命题的真值表及其逻辑性质

2.3.1 真值表的构造

一个符号化了的真值函项复合命题无论多么复杂

不外乎是由五个真值函项联结词和命题常项组合而成的

一个真值函项复合命题的真值

取决于它所含的命题常项的真值

命题常项的真值一旦确定

真值函项复合命题的真值也就相应地确定了

对于任何一个命题常项

我们可以进行两种真值赋值

即：真和假

对于两个命题常项

我们可以进行四种真值赋值：

真真、真假、假真、假假

总之，个复合命题所含的命题常项越多

对其命题常项可能进行的真值赋值的数目就越大

我们把对一个复合命题的所有命题常项的真值赋值

称为对该命题的“真值指派”

用“K”表示真值指派的数目

用“n”表示一个复合命题所含命题常项的数目

二者之间的关系为：

K=2^n

据此,一个含有一个命题常项的复合命题的

真值指派的数目为2¹，即2

含有两个 命题常项的复合命题的

真值指派的数目为2²，即4

含有三个命题常项的复合命题的

真值指派的数目为2³,即8 ……

下面我们以含有三个命题常项的复合命题

“F→GVH” 为例

来说明如何列举一个复合命题的全部真值指派

这个真值表显示了“F→GVH”

在其任何真值指派下的相应的真值

例如：

当真值指派为:

F=T, G=F, H= T时,

我们通过查看上表“→”之下第三行的真值,

便可知道“F→GVH”是真的

在上面构造真值表的过程中

我们根据特征真值表

首先确定那些以命题常项

为直接支命题的复合命题

在每一行的真值

然后确定那些以这些复合命题

为其直接支命题的复合命题的真值

以此类推

直到确定所讨论的那个复合命题在每一行的真值

可见，构造真值表的过程是一个能行的过程

即我们可以用机械的方法

在有穷的步骤内构造出

任何一个复合命题的真值表

而无论这个复合命题多么复杂

2.3.2 重言式、矛盾式和偶然式

根据真值函项关系的不同

我们可以把命题分为三类：

重言式

矛盾式

偶然式

请比较以下三个命题及其真值表

一个命题是重言式

当且仅当

该命题在所有的真值指派下都是真的

重言式又叫做“真值函项的真命题”,

(1)总是真的

一个命题是矛盾式

当且仅当

该命题在所有的真值指派下都是假的

矛盾式又叫做“真值函项的 假命题”

(2)总是假的

一个命题是偶然式

当且仅当

该命题在有些真值指派下是真的

在另一些真值指 派下是假的

偶然式又叫做“真值函项的不定命题”

(3)有真有假

2.3.3 重言等值和重言蕴涵

我们说任何两个命题P和Q是重言等值的

就是说P和Q在所有的真值指派下都是真值相同的

为确定两个命题是否重言等值

我们只需构造和比较两个命题的真值表

为确定命题“¬(E∧N) ”和“¬E V ¬N”

是否重言等值的

我们构造如下的真值表:

在上表中

这两个命题的主联结词下方的真值完全相同

这表明，这两个命题是重言等值的

命题P和Q是重言等值的

当且仅当

P↔Q是一个重言式

命题P 重言蕴涵命题Q

就是说，在所有的真值指派下

都不会出现P真而Q假的情形

为了确定P是否重言蕴涵Q

我们可以通过真值表来实现

在每一种真值指派下

都未出现L∧D真而LⅤD假的情形

因而，L∧ D重言蕴涵LVD

在此表的第二行和第三行中

出现LⅤD真而L∧D假的情形

这表明,并非LⅤD重言蕴涵L∧D

由此可见,重言蕴涵是不对称的

如果用“→”将重言蕴涵的两个命题P和Q联结起来

那么,由此构成的命题就 是一个重言式

用“→” 联结LAD和LVD而形成的命题

L∧D → LVD就是一个重言式

其真值表如下:

现在,我们给出“重言蕴涵”的另一个定义:

P重言蕴涵Q

当且仅当，P→Q是一个重言式

重言等值和重言蕴涵是两个命题之间

基于真值函项的逻辑关系

因此，重言等值和重言蕴涵又分别叫做

“真值函项地等值”

“真值函项地蕴涵”

2.4 用真值表检验推论的有效性

2.4.1 真值表方法

在命题逻辑中

一个推论是有效的

当且仅当，在任何真值指派下

它都不会出现所有前提真而结论假的情形

在命题的逻辑中

一个推论是有效的

当且仅当

它的所有前提的合取式重言蕴涵它的结论

【模式1】

P1

P2

……

∴ C

【模式2】

P1∧ P2∧…… → C

在命题逻辑中

一个模式1的推论是有效的

当且仅当

相应的模式2的蕴涵式是一个重言式

一个蕴涵式是否是一个重言式

可以通过真值表来判定

例如：

【例1】

P→Q

Q

∴P

例1是一个无效的推论形式

现在按照模式2将此推论形式

重写为：

(1) (P→Q) ∧ Q→P

相应的真值表是：

在此真值表中

主联结词“→”下面的第三行为F

可见（1）不是一个重言式

由此可以判定

例（1）是无效的

例如：

如果他获得冠军，那么他得到奖金

如果他得到奖金，那么他资助业余体校

所以，如果他获得冠军，那么他资助业余体校

令：

G：他获得冠军

D：他获得奖金

Z：他资助业余体校

以上推论被符号化为：

G→D

D→Z

∴G→Z

相应的蕴涵式是：

(G→D)∧(D→Z) → (G→Z)

其真值表是：

在这个真值表中

主联结词下方的每一行都是T

因此，这是一个有效的推论

一个具体推论是否有效

不取决于它的内容

而取决于它的推论形式是否有效

用来检验具体推论的有效性的真值表

只与该推论的符号结构有关

而与符号所表示的内容无关

我们把那些仅仅依据命题间的真值函项关系

仅仅依据真值函项联结词所进行的推论叫做“命题推论”

用真值表方法只能检验命题推论的有效性

2.4.2 短真值表方法

如果找到使蕴涵命题为假的真值指派

那么，所讨论的推论就是无效的

如果不可能找到这样一种真值指派

那么所讨论的推论就是有效的

这就是短真值表方法的基本思想

实现这一思想的手段是间接证明和归谬法

例如

P→Q

P

∴Q

与此推论形式相应的蕴涵式是：

检查（v）中各个命题变项下边的赋值

发现P既是F又是T

这就是说，当我们假定（P→Q）APQ为假时

便导致P既真又假的逻辑矛盾

根据归谬法可以得出结论：

我们关于该蕴涵式为假的假定不能成立

也就是说，该蕴涵式不可能为假

这样就间接证明了该蕴涵式是一个重言式

短真值表方法的一般程序可以归结如下：

步骤1：

写出与所讨论的推论相应的蕴涵式

步骤2：

假定蕴涵式是假的

即假定它的前件为真而后件为假

步骤3：

在这种假定下

根据真值函项联结词的特征真值

表推导出命题常项（或命题变项）的真值

步骤4：

检查每一个命题常项（或命题变项）的真值

如果所有相同的命题常项（或命题变项）

都被赋予相同的真值

那么所讨论的推论是无效的

如果至少有一个命题常项（或命题变项）既真又假

那么所讨论的推论是有效的

当对一个蕴涵式应用短真值表方法的赋值多于一种可能时

只要在其中一种可能的赋值下没有导致矛盾

就表明这个蕴涵式不是重言式

从而可以断定相应的推论是无效的

但是，在其中一种可能的赋值下导致矛盾

并不能由此断定这个蕴涵式是重言式

因而也不断定相应的推论是有效的

要断定所讨论的推论是有效的

必须在所有可能的赋值下都导致矛盾

3 命题逻辑：推演

真值表方法是一种判定命题推论的有效性的方法

推演也可以判定命题推论的有效性的方法

这种方法的实质是将一个复杂推论分解为若干简单推论

由于这些简单推论的有效性是明显的

所以，那个复杂推论的有效性也就被确立起来

如果我们把某些简单推论作为推演规则

那么，我们就可以根据这些规则

从给定的前提一步一步地推出所要的结论

这种方法被称为“自然演绎”或“自然推论”

“自然演绎系统”是以一组推演规则为基础的

对于任何一个推论

如果我们能够依据这组推演规则

从它的前提推出它的结论

那么这个推论就是有效的

3.1 八条整推规则

3.1.1 八条整推规则的表述

一些简单的有效推论形式

就是我们制定自然演绎的推演规则的依据

1．肯定前件

在前一章中我们已用真值表方法证明推论形式

P→Q

P

∴Q

是有效的

由此我们得到相应的推论规则：

从P-Q和P可以推得Q

P和Q作为命题变项可以代表简单命题

也可以代表复合命题

例如：

P和Q分别代表（A∧B）和（B→C）

根据肯定前件规则

我们可以进行如下推论：

A∧B→(B→C)

A∧B

B→C

2．否定后件

根据真值表方法可知

P→Q

¬Q

∴¬P

是有效的

我们由此得到相应的推论规则：

从P→Q和¬Q可以推得¬P

3．否定析取支

根据真值表方法可知，推论形式

PVQ

¬P

∴Q

是有效的

据此我们有规则：

从PVQ和¬P可以推得Q

4．化简

根据真值表方法

P∧Q

∴P

和

P∧Q

∴Q

都是有效的

于是我们有规则：

从P∧Q可以推得P

从P∧Q可以推得Q

5．合取

根据真值表方法

P

Q

∴P∧Q

是有效的

相应的规则是：

从P和Q可以推得P∧Q

6．假言三段论

由真值表方法可以判定

P→Q

Q→R

∴P→R

是有效的

相应的规则是：

从P→Q和Q→R可以推得P→R

7．二难推论

由真值表方法可以判定

P→Q

R→S

PVR

∴QVS

是有效的

于是我们得到如下规则：

从P→Q、R→S和PVR可以推得QVS

8．附加

由真值表方法可以判定

P

∴PVQ

和

Q

∴PVQ

是有效的

于是我们有规则：

从P可以推得PVQ

从Q可以推得PVQ

这八条规则必须应用于整个命题

而不能应用于命题的某一个部分

或者说，这八条规则必须应用于主联结词

而不能应用于非主联结词

这八条规则被称之为“整推规则”

3.1.2 八条整推规则的应用

依据八条整推规则

我们可以证明许多推论的有效性

例如：

如果小王研究科学方法论，那么小王学习科学史和逻辑学

小王研究科学方法论

所以，小王学习逻辑学

对该推论进行符号化：

L：小王研究科学方法论

S：小王学习科学史

X：小王学习逻辑学

推论可被符号化为；

L→S∧X

L

∴X

揭示推论的结论是怎样从前提

一步一步地得出来的

证明如下：

(1)L→S∧X 前提

(2)L 前提

(3)S∧X （1）（2），肯定前件

(4)X （3），化简

以上就是对推论1的证明

现在我们给出“证明”的定义：

一个证明是这样一个命题序列

在其中，每一个命题或者是前提

或者是根据推演规则从序列中在前的命题推得的

序列的最后一个命题是结论

证明的一般模式是：

3.2.1 什么是置换规则

在命题逻辑中

置换规则的一般表述如下：

对于任何命题P

无论它是以整个命题出现

还是作为一个命题的一部分出现

都可用与它重言等值的命题Q来替换

例如：

由前提K∧K→O

不能通过化简规则推出K→O

但却可以通过置换规则推出这个结论

如果我们知道K∧K和K是重言等值的

由于任何一个重言等值式的左右两支是重言等值的

根据置换规则

任何重言等值式的左右两支都是可以互相置换的

十条比较常用的置换规

下面就逐一介绍这十条规则

3.2.2 交换

根据重言式

PVQ↔QVP

和

P∧Q↔Q∧P

我们有规则：

PVQ和QVP可以相互置换

P∧Q和Q∧P可以相互置换

这条规则包括两个部分

前一部分叫做“析取交换”

后一部分叫做“合取交换”

例如：

【推论1】

AV(B→C)

(B→C)VA

【推论2】

(K→L) ∧ (M∧L)

(K→L) ∧ (L∧M)

3.2.3 双重否定

根据重言式：

P → ¬¬P

我们有如下置换规则：

P和¬¬P可以相互置换

例如：

D V (F∧G)

∴¬¬D V (F∧G)

3.2.4 德摩根律

德摩根重言式

¬(PVQ) ↔ ¬P∧¬Q

和

¬(P∧Q) ↔ ¬P∨¬Q

我们有规则：

¬(PVQ) ↔ ¬P∧¬Q可以互相置换

¬(P∧Q) ↔ ¬P∨¬Q可以互相置换

前一部分叫做“否定析取的德摩根律”

后一部分叫做“否定合取的德摩根律”

3.2.5 假言易位

根据真值表

我们有重言式：

(P→Q) ↔(¬Q→¬P)

我们有置换规则:

(P→Q)和(¬Q→¬P) 可以相互置换

3.2.6 蕴涵

根据真值表，我们有重言式：

(P→Q)↔(¬PVQ)

于是，我们有置换规则：

（P→Q）和（¬PVQ）可以相互置换

3.2.7 重言

根据真值表，我们有重言式：

P↔P∨P

和

P↔P∧P

我们有如下置换规则；

P和PVP可以相互置换

P和P∧P可以相互置换

前一部分叫做“析取重言”

后一部分叫做“合取重言”

3.2.8 结合

有重言式：

PV(QVR)→(PVQ)VR

和

P∧(Q∧R)→(P∧Q)∧R

于是，我们有如下置换规则：

PV（QVR）与（PVQ）VR可以相互置换

P∧（Q∧R）与（P∧Q）∧R可以相互置换

第一部分叫做“析取结合”

第二部分叫做“合取结合”

3.2.9 分配

根据真值表

PV(Q∧R)↔(PVQ) ∧(PVR)

P∧(QVR)↔(P∧Q) V(P∧R)

我们有如下置换规则:

PV(Q∧R)和(PVQ) ∧(PVR) 可以相 互置换

P∧(QVR)和(P∧Q) V(P∧R) 可以相 置换

前一部分叫做“析取对合取 的分配”

后一部分叫做 “合取对析取的分 配”

3.2.10 移出

根据真值表：

(P∧Q→R)↔(P→(Q→R))

于是，我们有置换规则：

(P∧Q→R)和(P→(Q→R))可以相互置换

3.2.11 等值

根据真值表，我们有重言式：

(P↔Q)↔(P→Q)∧(Q→P)

我们有如下置换规则：

(P↔Q)和(P→Q)∧(Q→P)可以相互置换。

3.3 条件证明规则

3.3.1 什么是条件证明规则

仅用这十八条规则

还不能给出所有有效命题推论的证明

例如：

¬JVK

∴J→J∧K

分析：

推论是有效的

十八条规则不能证明它的有效性

为了证明推论的有效性

我们可以这样来考虑：

推论是有效的

当且仅当，它的前提真时

结论不可能假

它的结论是一个蕴涵式

一个蕴涵式不可能假

我们把结论中的前件J作为假设给出

在原来的前提之下

当J真时，J∧K不可能假

这也就表明，当原有前提为真时

原结论J→JAK不可能是假的

根据以上道理

我们引入一条新的推演规则

条件证明规则：

如果从前提Pr或假设P推出Q，

那么，仅从前提Pr可以推得P→Q

条件证明规则也可表达为如下模式：

Pr表示所有前提的合取

从假设P开始到Q为止的直线标示出假设的范围

即假设域

假设域的第一行是假设

亦即结论的前件

假设域的最后一行是结论的后件

假设域中的任何一行

或者是假设，或者是由假设或前提推出的

作为结论的蕴涵式P→Q在假设域之外

这表明，此结论不依赖于假设P

而仅仅依赖于前提Pr

或者说，对于该结论来说，假设P是被撤除的

现在我们就用条件证明规则证明推论的有效性

证明：

3.3.2 条件证明规则的应用

例如：

如果一个人自信，那么他有闯劲但不易保持谦虚

如果一个人怯懦，那么他容易保持谦虚

所以，如果一个人自信，那么他不怯懦

将此推论符号化：

Z：一人自信

C：他有闯劲

B：他易保持谦虚

Q：他怯懦

此推论被符号化为：

Z→C∧¬B

Q→B

∴Z→¬Q

证明如下：

3.4 间接证明规则

3.4.1 什么是间接证明规则

间接证明的一般程序是：

为要从给定的前提推出结论P

我们先假设¬P

如果能从前提和¬P推出一对矛盾命题Q和¬Q

这便证明了¬P是假的

从而证明P是真的

间接证明规则：

如果从前提Pr和假设～P推出Q∧¬Q

那么，仅从前提Pr可以推出P

间接证明规则也可表达为如下模式：

3.4.2 间接证明规则的应用

我们知道条件证明规则较适用于证明其结论为蕴涵式的推论，与此不同，间接证明

规则常常用来证明其结论不是蕴涵式的推论。例如：

【推论1】

FVN

N→B∧J

BVF→D

∴D

分析：

3.5 重言式的证明

3.5.1 重言式的无前提证明

我们知道，重言式是常真的

重言式的真不依赖于任何前提

因此，我们可以构造任何重言式的无前提证明

无前提证明是通过使用条件证明规则

或间接证明规则来实现的具体地说

无前提证明是以假设为出发点

并通过撤除所有假设来得出结论的

结论就是所要证明的重言式

例如：

对于P→P这个重言式可以构造如下的无前提证明

在命题逻辑中

如果我们能够构造出一个公式的无前提证明

那么，该公式就被证明是一个重言式

请看下面两个推论：

【推论1】

Q

∴P→P

【推论2】

¬Q

∴P→P

注意，推论1和推论2的前提正好相互否定

而它们的结论却完全相同

3.5.2 自然演绎与真值表方法

现在，我们已经有两种方法

可以检验一个命题推论的有效性

真值表方法

自然演绎方法

4 三段论逻辑

三段论逻辑是由古希腊的大哲学家

亚里士多德最初建立的

三段论逻辑只处理三段论推论

4.1 直言命题

4.1.1 直言命题的形式

出现在一个三段论中的命题

都是直言命题

直言命题有以下四种形式：

所有S是P

所有S不是P

有S是P

有S不是P

S和P是词项变项它表示任何一个词项

由S表示的词项叫做“主项”

由P表示的词项叫做“谓项”

例如：

所有哲学家都是善于抽象思维的；

有人不是善于抽象思维的；

所以，有人不是哲学家。

分析：

“哲学家”是主项

“善于抽象思维的”是谓项

把主项和谓项联结起来的词项叫“联项”

联项有两种，即“是”和“不是”

“是”叫做“肯定联项”

“不是”叫做“否定联项”

“S”前边的“所有”或“有”叫做“量项”

量项是用来表示主项在外延方面的数量的

“所有”叫做“全称量项”

它表示了主项的全部外延

“有”叫做“特称量项”

它没有表示主项的全部外延

任何一个直言命题都具有以上四种形式之一

任何一个直言命题都是由主项、谓项、联项和量项这四个部分组成的

人们把“所有S是P”缩写为“A”，并称之为“全称肯定命题”

把“所有S不是P”缩写为“E”，并称之为“全称否定命题”

把“有S是P”缩写为“I”，并称之为“特称肯定命题”

把“有S不是P”缩写为“O”，并称之为“特称否定命题”

4.1.2 直言命题的图释

我们把特称量词解释为“至少有一”

把I命题解释为“至少有一S是P”，

把O命题解释为“至少有一S不是P”

I和O用文恩图表达：

首先画两个相交的圆

它们分别表示S和P的外延

亦即它们分别表示S和P所指称的两类事物

这两个相交的圆构成三个不同的区域

中间相交的区域表示既是S又是P的那类事物

最左边区域表示是S而不是P的那类事物

最右边的区城表示是P而不是S的那类事物

如果已知哪一类事物存在

我们就在相应的区域写上“X”

如果已知哪一类事物不存在

我们就在相应的区域画上影线

如果一个区域既未写上“X”，也未画上影线

那就意味着我们对相应的那类事物一无所知

也是说

我们既不知道那类事物存在

也不知道它们不存在

I表示“至少有一S是P”

这就是说“既是S又是P的那类事物是存在的”

为表示I

我们应该在图中间的相交区域写上“X”

这样，I就被解释为：

我们把O解释为“至少有一S不是P”

这就是说，“是S而不是P的那类事物是存在的”

为表示O，我们应在图中最左边的区域写上“X”

这样，O就被解释为：

把“所有S是P”解释为“没有S不是P”

或“是S而不是P的事物是没有的”

为表示A命题，我们应当在图4中最左边的区域画上影线

于是，A被解释为：

E命题即“所有S不是P”的含义是“没有S是P”

或“既是S又是P的事物是没有的”

为表示E，我们应当在图中间的相交区域画上影线

这样，E就被解释为

请注意，在图中有“X”的

这表明I和O这两个特称命题有主项存在的含义

但在图中没有“X”的

这表明A和E这两个全称命题没有主项存在的含义

正因为这样，当主项为一个空词项时

特称命题都是假的

而全称命题都是真的

下图是当主项S为空词项时的图释

由于全称命题没有主项存在的含义

而特称命题有主项存在含

所以，由“所有S是P”推不出“有S是P”

由“所有S不是P”推不出“有S不是P”

4.1.3 直言命题之间的关系

A和O之间具有矛盾关系

因而，其中之一与另一个的否定命题是等值的

即：

“所有S是P”等值于“并非有S不是P”

“有S不是P”等值于“并非所有S是P”

E和I之间也具有矛盾关系

因而，以下等值关系成立：

“所有S不是P”等值于“并非有S是P”

“有S是P”等值于“并非所有S不是P”

根据以上四种等值关系

我们可以进行一些置换推演

例如：

从“所有蛇是爬行的”可以推出“并非有蛇不是爬行的”

从“并非所有液体比铁轻”可以推出“有液体不比铁轻”，等等

一个词项的补指称所有不被该词项指称的对象

任何一个词项“P”的补记为“非P”

例如：

“红的”的补为“非红的”

“非红的”的外延包括一切不为红色的个体

其中有黑板、绿草、白雪等等

说一个体是P，等于说该个体不是非P

说一个个体不是P，等于说该个体是非P

根据一个词项和该词项的补之间的这种关系

我们得到如下等值关系：

“所有S是P”等值于“所有S不是非P”

“所有S不是P”等值于“所有S是非P”

“有S是P”等值于“有S不是非P”

“有S不是P”等值于“有S是非P”

两个具有相同主项的直言命题可以相互置换：

它们的联项相反

谓项互为补词项

这个置换规则通常叫做换质法

例如：

所有的哺乳动物是热血的；

所以，所有的哺乳动物不是非热血的。

有些行星是没有卫星的；

所以，有些行星不是有卫星的。

交换E和I中S和P的位置

并不改变命题的含义

因此，我们又有如下等值关系：

“所有S不是P”等值于“所有P不是S”

“有S是P”等值于“有P是S”

相应地，我们有如下置换规则：

主项和谓项交换位置的两个E命题可以相互置换

主项和谓项交换位置的两个I命题可以相互置换

这个置换规则通常叫做换位法

下面两个推论是对换位法的应用：

有的钓鱼者是有耐心的；

所以，有的有耐心的是钓鱼者。

所有的天主教徒不是无神论者；

所以，所有的无神论者不是天主教徒。

十对相互等值的命题集中列举如下：

（1）根据矛盾关系：

“所有S是P”等值于“并非有S不是P”

“有S不是P”等值于“并非所有S是P”

“所有S不是P”等值于“并非有S是P”

“有S是P”等值于“并非所有S不是P”

（2）根据调项及其补词项之间的关系（即换质法）；

“所有S是P”等值于“所有S不是非P”

“所有S不是P”等值于“所有S是非P”

“有S是P”等值于“有S不是非P”

“有S不是P”等值于“有S是非P”

（3）根据主项和谓项的对称性（即换位法）：

“所有S不是P”等值于“所有P不是S”

“有S是P”等值于“有P是S”

4.2 三段论

4.2.1 什么是三段论

三段论是这样一种推论

它由三个直言命题组成

其中两个直言命题是前提

另一直言命题是结论

就主项和谓项而言

它包含三个不同的词项

每个词项在两个命题中各出现一次

例如：

所有有机物都是含碳化合物

糖是有机物

所以，糖是含碳化合物

分析：

这是一个三段论

它由三个直言命题组成

就主项和谓项而言

它只包含三个不同的词项

即“有机物”、“含碳化合物”和“糖”

其中每个词项在两个命题中各出现一次

三段论所包含的三个不同的词项

分别叫做“大项”、“小项”和“中项”

大项就是作为结论的谓项的那个词项

小项就是作为结论的主项的那个词项

中项就是在两个前提中都出现的那个词项

在这个例子中

大项是“含碳化合物”

小项是“糖”

中项是“有机物”

只要中项的位置确定了

大项与小项的位置也就跟着确定了

由于中项位置不同而形成的各种三段论形式叫做“三段论的格”

习惯上用“P”、“M”和“S”分别表示大项、中项和小项

现将三段论所有的四个格列举如下：

三段论的两个前提和一个结论

可以在A、E、I、0这四种不同形式的命题中加以选择

由于以不同形式的命题作为前提或结论

而形成的各种不同的三段论形式叫做“三段论的式”

例如上面的推论属于第一格

它的式可以表示为：AAA

当三段论的格和式都确定以后

三段论的形式也就完全确定了

例如：

如果告诉我们一个三段论的形式是EIO一Ⅲ

我们便知道这个三段论具有如下的形式：

所有M不是P

有M是S

所以，有S不是P

就三段论的任何一格而言

它的两个前提和一个结论各有四种可能的形式

即A、E、I或O

因此，三段论的任何一格都有4³即64个式

四个格一共有256个式

然而，并非每一个三段论形式是有效的

4.2.2 用文恩图检验三段论的有效性

为了用文恩图检验一个三段论的有效性

我们首先画三个彼此相交的圆

让它们分别代表大项、中项和小项

如图所示

其次，把作为前提的两个直言命题分别在图中表示出来

不妨以AAA-I为例

AAA-I的形式是：

所有M是P

所有S是M

所以，所有S是P

下图中加以表示的结果

最后，根据上图来检验AAA-1是否有效

看它是否包含了表示AAA-I的结论文恩图：

若包含，AAA-I是有效的

若不包含，则表明AAA-I是无效的

AAA-I的结论是“所有S是P”

表示该结论的文恩图是：

图中画影线的部分完全包含影线区域

由此可见，AAA-I是有效的

当一个三段论有一个全称前提和一个特称前提时

最好先画出全称前提

然后画出特称前提

4.2.3 用规则检验三段论的有效性

一个命题中的一个词项是周延的

当且仅当，这个命题断定了这个词项的全部外延

根据这个定义，我们可以确定：

（1）全称命题的主项是周延的。

全称命题“所有S是P”和“所有S不是P”

中的量词“所有”断定了S的全部外延

（2）特称命题的主项是不周延的

特称命题“有S是P”和“有S不是P”

中的量词“有”没有断定S的全部外延

（3）肯定命题的谓项是不周延的

肯定命题“所有S是P”和“有S是P”

并没有断定S是所有的P

故没有断定P的全部外延

（4）否定命题的谓项是周延的

否定命题“所有S不是P”和“有S不是P”

断定了S不是任何一个P

故断定了P的全部外延

三段论规则列举如下：

规则1：中项至少在一个前提中周延。

规则2：如果一个词项在结论中是周延的

那么，它必须在前提中周延

规则3：至少一个前提是肯定的。

规则4：如果有一个前提是否定的

那么，结论是否定的

如果结论是否定的

那么，有一前提是否定的

规则5：如果两个前提都是全称的

那么，结论不能是特称的

一个三段论如果满足以上每一条规则

那么它是有效的

反之，如果它违反其中任何一条则

那么，它是无效的

4.3 强化三段论

4.3.1 强化直言命题与强化三段论

一个三段论如果暗含着一个前提

即“由前提中的主项所表示的事物是存在的”

这样的三段论比起我们在前一节所讨论的三段论

可以说是强化了前提的三段论

因而，我们把这样的三段论叫做“强化三段论”

把组成强化三段论的直言命题叫做“强化直言命题”

相应地，把非强化三段论和非强化直言命题叫做

“基本三段论”和“基本直言命题”

强化三段论逻辑中

强化直言命题之间的逻辑关系

被归结为一个“逻辑方阵”

4.3.2 对强化三段论的有效性的检验

强化三段论的有效性不同于基本三段论的有效性

文恩图检验强化三段论的一般程序：

步骤1：画出两个前提的文恩图

步骤2：在各个前提以及结论的主项的圆内写上“X”

步骤3：检查图中是否已把结论画出

若画出，则该推论有效

若未画出，则该推论无效

下面我们就用文恩图检验一个强化三段论的有效性。

例如：

所有M是P

所有S是M

所以，有S是P

首先画出两个前提的文恩图

其次，我们在两个前提以及结论的主项S和M的圆内写上“X”

强化三段论的有效形式多于基本三段论的有效形式

强化三段论的有效形式除了这15个以外，还有9个

4.3.3 处理三段论的两种方案

如何确定一个三段论是强化三段论还是基本三段论？

例如：

维也纳学派的成员都懂逻辑学

维也纳学派的成员都是经验主义者

所以，有些经验主义者是懂逻辑学的

分析：

如果这个推论出于一个哲学工作者之口

我们最好把这个推论看作一个强化三段论

即假定前提的主项“维也纳学派的成员”不是一个空词项

因为哲学工作者一般都知道维也纳学派是一个真实存在的哲学派别

然而，如果这个推论出于一个小学生或中学生之口

我们最好把它看作一个基本三段论

即不假定“维也纳学派的成员”不是一个空词项

因为在中小学生中知道实际存在的

作为哲学派别的维也纳学派的人毕竟是不多的

避开这个问题的方案主要有二：

其一是传统逻辑所采取的方案

另一是现代逻辑所采取的方案

传统逻辑通常把三段论作为强化的三段论

把直言命题作为强化的直言命题

在现代逻辑中

通常把直言命题作为基本直言命题

把三段论作为基本三段论

这种作法的优点是

能够处理不假定主项存在的三段论和直言命题

其缺点是

对于那些主项明显存在的三段论和直言命题处理得比较迁回

不够直截了当

在文中所出现的三段论和直言命题

除非特别声明

都是作为基本三段论和基本直言命题的

5 谓词逻辑：基本概念和符号化

5.1 基本概念

5.1.1 谓词逻辑和谓词推论

本章的目的在于发展这样一个逻辑系统：

我们既能处理那些依据真值函项联结词的推论

又能处理那些依据量词的推论

而且还能处理那些既依据量词

又依据真值函项联结词的推论

这样的逻辑理论叫做“谓词逻辑”

谓词逻辑是对命题逻辑的扩展

它在命题逻辑的基础上

又增添了一些新的推演规则

因此

所有在命题逻辑中能够被证明为有效的推论

在谓词逻辑中都能被证明

许多在命题逻辑中不能被证明的有效推论

在谓词逻辑中也能够被证明

我们把谓词逻辑所处理的推论叫做“谓词推论”

命题推论是谓词推论的一部分

5.1.2 个体词和谓词

我们首先考察几个命题：

（1）武汉大学是综合性大学。

（2）武汉大学依山傍水。

（3）泰山是雄伟的。

（4）庐山是雄伟的。

这四个命题都断定了某个个别事物具有某种属性

在谓词逻辑中

把表示个别事物的名称或短语叫做“个体词”

把表示事物的性质或关系的短语叫“谓词”

上面四个命题中的

“武汉大学”、“泰山”、“庐山”是个体词

“···是综合性大学”、“···依山傍水”、“···是雄伟的”是谓词

现在，我们规定，小写字母a至w为个体常项

它们用来表示自然语言中的个体词亦即专名（专有名词）

其后紧跟一对括号的大写字母A至Z为谓词常项

它们用来表示自然语言中的谓词

在将命题符号化时

先写谓词常项

然后将个体词填写在谓词常项后边的一对括号里

据此，我们可以对上面四个命题进行如下的符号化：

首先给出谓词常项和个体常项：

Z（）：“·是综合性大学

S（）：···依山傍水

X（）：···是雄伟的

w：武汉大学

t：泰山

l：庐山

然后写出命题的符号表达式：

(1')Z (w)

(2')S(w)

(3')X(t)

(4')X(l)

（1＇）、（2＇）、（3＇）和（4＇）分别是

（1）、（2）、（3）和（4）的符号化

有些谓词则表示两个或更多个体之间的关系

例如：

（5）梁山伯爱祝英台。

（6）武汉在南京和重庆之间。

（7）武汉与南京之间的距离小于重庆与上海之间的距离。

分析：

（5）的谓词“……爱……”表示两个个体之间的关系

（6）中的谓词“···在···和···之间”表示三个个体之间的关系

（7）中的谓词“···与···之间的距离小于··与··之间的距离”表示四个个体之间的关系

一般地，我们把表示n个个体的属性或关系的调词叫做“n目谓词”

这里的“目”也就是空位的意思

命题（1）至（4）中的谓词都是一目谓词

命题（5）中的谓词是二目谓词

命题（6）中的谓词是三目谓词

命题（7）中的谓词是四目谓词

为了把谓词的目数表示出来

我们进一步规定

谓词符号是被一对包含或不包含逗号的括号

紧跟其后的大写字母

例如：

A（）、···M₄（）、····B₂（，）、···、W（，，）、

···、Z（，，，）···

其中不含逗号的谓词是一目谓词

含有一个逗号的谓词是二目谓词

总之，含有n个逗号的谓词是n＋1目谓词

个体词必须填在谓词的括号中

若有逗号

必须在逗号两边各填一个个体词

为简便起见，在规定谓词常项时

我们可以把谓词常项后边的括号省去

例如：

现对命题（5）、（6）、（7）进行符号化

E：···爱···

B：·在···和···之间

R：···与····之间的距离小于···与···之间的距离

b：梁山伯

t：祝英台

h：武汉

j：南京

q：重庆

s：上海

(5') E(b, t)

(6') B(h, j, q)

(7') R(h, j, g, s)

以上所讨论的命题都可以用一个n目谓词常项

和填写在其后一对括号中的n个个体常项加以符号化

这样的命题及其符号化都是关于某些个别事物的

因而叫做“单称命题”

所有单称命题都属于谓词逻辑的基本命题

此外，所有的命题常项也属于谓词逻辑的基本命题

习惯上，把基本命题叫做“原子命题”

所有单称命题和所有命题常项就是谓词逻辑的全部原子命题

由原子命题构成的复合命题又叫做“分子命题”

5.1.3 量词

请看下面两个命题。

（8）所有事物都是方形的。

（9）有的事物是红色的。

（8）中所谈的“事物”泛指任何对象

而不指称某一个别对象

因而，对于（8）中的“事物”我们不能用个体常项来代表

只能用个体变项来代表

个体变项是小写字母x、y和z

个体变项的变域是宇宙间的任何个体

我们还引入一个常项“∀”

∀叫做“全称量词”

它的含义相当于日常语言中的：

“每一”、“任何”、“所有”、“一切”等等

现在，我们用个体变项“x”表示（8）中的“事物”

用调词常项“F”表示（8）中的谓词“···是方形的”

（8）可以符号化为：

(8')∀xF(x)

读作：（8''）对每一x而言，x是方形的

（8''）和（8）的意思完全一样

只是表达方式略有不同

（8''）被一个逗号分为两部分

前一部分“对于每一x而言”是对“∀x”的解释

后一部分“x是方形的”是对“F（x）”的解释

命题（9）中的“事物”也不能用个体常项来表示

只能用个体变项来表示

“ヨ”叫做“存在量词”

它的含义相当于自然语言中的：

“有”、“有的”、“至少有一”等等

现在我们用个体变项x表示（9）中的“事物”

用谓词常项H表示（9）中的谓词“···是红色的”

（9）可以被符号化为：

（9）ヨxH(x)

读作：（9＂）至少有一x使得，x是红色的

（9＂）和（9）虽然表达方式略为不同

但它们的意思是完全一样的

（9”）也被一个逗号分为两部分

前一部分“至少有一x使得”是对（9＇）中的“ヨx”的解释

后一部分“x是红色的”是对（9＇）中的“H（x）”的解释

一个量词后边总是紧跟一个个体变项

用以表明这个量词是针对什么而言的

量词和紧跟其后的一个个体变项一起称作量词

例如：

“∀x”、“∀y”、“∀z”等是全称量词

“ヨx”、“ヨy”、“ヨz”等是存在量词

5.1.4 量词的辖域、普遍命题和复合命题

量词的作用范围叫做“量词的辖城”

对于量词的辖域

可以分三种情况加以判别：

其一，量词后边紧接一个左括号

在这种情况下

量词的辖域从量词开始

延续到与该左括号配对的右括号

其二，量词后边没有紧跟一个左括号

也没有紧跟一个量词

在这种情况下

量词的辖域从量词开始

延续到该量词之后的第一个二项真值函项联结词之前

其三，量词后边紧接一个量词

在这种情况下

该量词的辖域就是它本身加上它后边的量词的辖域

例如：

(10)∀x(F(x)→F(e))

(11)∀xF(x)→F(e)

(12)∀xヨyR(x, y)

分析：

在（10）中

量词“∀x”之后紧接一个左括号

因此，量词的辖域一直延续到与该左括号配对的右括号

也就是说，量词的辖城包括整个命题

在（11）中

量词“∀x”之后没有紧接一个左括号

也没有紧接一个量词

因此，量词的辖域只包括“→”之前的部分

即“∀xF（x）”

在（12）中

量词“∀x”之后紧接量词“ヨy”

因此，“∀x”的辖域包括它本身和“ヨy”的辖域

就是包括整个公式

量词和真值函项联结词统称为“逻辑词”

如果一个量词的辖域包括整个命题

那么我们就称该量词是该命题的“主逻辑词”

以量词为主逻辑词的命题称作“普通命题”

普遍命题又可分为全称命题和存在命题

全称命题的主逻辑词是全称量词

存在命题的主逻辑词是存在量词

如果一个命题中至少有一个真值函项联结词未包含于量词的辖域内

那么该命题的主逻辑词就是量词辖域之外的某个真值函项联结词

以真值函项联结词为主逻辑词的命题称做“复合命题”

（10）和（12）是普遍命题

具体地说，是全称命题

（11）是一个复合命题

具体地说，是一个蕴涵命题

命题可以分为三类

普遍命题

复合命题

基本命题

5.1.5 自由变项和约束变项

一个变项在一个公式中的一次出现是约束的

当且仅当，这次出现是在含有该变项的量词的辖域内

一个变项在一个公式中的一次出现是自由的

当且仅当，该变项的这次出现不是约束的

例如：

(21)ヨy(F(y)∧G(y))

(22)ヨyF(y)∧G(y)

分析：

直线标出量词的辖域

根据这个定义

在（21）中，y的三次出现都是约束的

在（22）中，y的前两次出现是约束的

第三次出现是自由的

约束变项和自由变项的定义：

一个变项在一个公式中是一个约束变项

当且仅当，该变项至少有一次出现是约束的

一个变项在一个公式中是一个自由变项

当且仅当，该变项至少有一次出现是自由的

5.1.6 开语句、开语句的例示和概括

开语句就是至少含有一个自由变项的公式

例如：

(26)G(x)

在（26）中

G代表谓词“……在中国”

故（26）可以读作：“x在中国”

用个体常项b和c分别代表“北京”和“东京”

并通过用b或c分别替换（26）中的自由个体变项x

从而得到G（b）或G（c）。G（b）表达一个真命题

G（c）表达一个假命题

用一个个体常项替换开语句中的一个个体变项的每一次自由出现

称为对这个开语句的一次例示

由一次例示得到的结果叫做开语句的一个“替换例子”

用以替换的个体常项叫做“例示常项”

G（b）和G（c）就是开语句G（x）的两个替换例子

它们分别是用b或c对G（x）进行例示所得的结果

对一个开语句进行一次概括，就是在这个开语句前边加上一个量词

该量词所含的变项与这个开语句所含的十个自由变项相同

并且该量词的辖域包括整个公式。

用全称量词对开语句进行概括

称作“全称概括”

用存在量词对开语句进行概括

称作“存在概括”

从一个开语句得到一个命题有两种并且只有两种方法

即例示和概括

开语句和符号化了的命题统称为“公式”

5.1.7 重复约束和空约束

所谓重复约束

就是一个量词出现在另一个含有相同变项的量词的辖域内

所谓空约束 ∀xヨ

就是在一个量词的辖域内没有第二次出现该量词所含的个体变项

例如：

(28)∀xヨxK(x,x)

(29)ヨy(I(y)∧∀yJ(y))

(30)ヨx∀y(I(x)→L(x))

在（28）和（29）中都出现了重复约束

在（30）中出现了空约束

5.2 命题的符号化

5.2.1 直言命题的符号化

全称命题和存在命题的一般形式分别是

∀xP（x）

ヨxP（x）

P（）是一个元变项

表示任何一个一目谓词

x是一个个体变项的元变项

表示任何一个个体变项，如

P（x）表示任何一个由一目谓词构成的开语句

A命题符号化

例如：

（1）所有鱼是用鳃呼吸的

（1）的主项“鱼”所表示的就不是最大的类

因此，我们不能把（1）解释为：

∀x（x是用鳃呼吸的）

因为这种解释等于说

所有事物都是用鳃呼吸的

对（1）的正确解释应当是：

∀x（如果x是鱼，那么x是用鳃呼吸的）

用Y代表谓词“···是鱼”

用S代表谓词“···是用鳃呼吸的”

（1）可被符号化为：

(1')∀x(Y(x)→S(x))

I命题的符号化

（3）有些金属是液体。

命题（3）是一个I命题

把它重新表述为：

至少有一事物使得，它是金属并且它是液体

我们用K代表“···是金属”

L代表“···是液体”

（3）可以被符号化为：

ヨx（K(x)∧L(x)）

5.2.2 论域

我们把在特定场合下所谈论的某一类对象的集合

叫做在那个场合下的“论域”

在此之前

我们规定个体变项的变域是宇宙间一切事物的集合

这就规定了我们的论城是全集

相应于全集的论城叫做“全域”

并非在任何场合下我们都得使论城为全域

在谓词逻辑中

通过限制论域可以使命题的符号化得以简化

例如：

我们把论域限制为“鱼”的集合

记为：UD：｛鱼｝

命题“所有鱼都是用鳃呼吸的”

可被符号化为：

∀xS(x)

对论域的限制需要给予明确的标示

即，“UD：｛……｝”

或“论域：｛……｝”

如果对论域没有标示

那么论域就被看作是全域

在适当限制论域之后

A、E、I和O这四种命题可以被分别符号化为:

A: ∀xP(x)

E: ∀x¬P(x)

I: ヨxP(×)

0: ヨx¬P(×)

可以把P（x）推广为Ψ（x）

二者的不同在于：

P（x）表示由一目谓词构成的开语句

因而x只能在其中出现一次

而重Ψ（x）表示由任何目谓词构成的开语句

因而x可以在其中出现任意多次

5.2.3 一般命题的符号化

全称命题的一般结构是：

∀xP(x) →(……))

存在命题的一般结构是：

ヨxP((x)∧(……))

例如：

所有狗身上长毛并且嗅觉灵敏

重新表述为：

对于每一x而言，如果x是狗，那么x身上长毛并且嗅觉灵敏

G：···是狗

M：···身上长毛

X：···嗅觉灵敏

符号化为：

∀x(G(x)→M(x)∧X(x))

5.2.4 命题的多重量化

如果在一个命题中

至少有一个量词处于另一个量词的辖城内

那么，我们称这个命题是多重量化的

例如：

∀xP(x)→ヨyQ(y)

不是多重量化的

∀x(P(x)→ヨyQ(y))

是多重量化的

多重量化不同于重复约束

二者的区别是：

前者所涉及的是含有不同个体变项的量词

而后者所涉及的是含有相同个体变项的量词

把处于括号内的“ヨx”移至括号外

叫做“量词移置”

在谓词逻辑中

以下十二个等值式叫做“量词移置律”

6 谓词逻辑：解释与推演

6.1 解释

6.1.1 命题的解释及其真假

一个符号化的命题的真值取决于对它的解释

它的解释一旦确定

它的真值就相应地确定了

对一个命题作出一个解释

当且仅当，对该命题：

a.规定一个非空论域UD；

b.给每一个谓词常项指定一个属性；

c.给每一个体常项指定论域中的一个成员；

d.给每一个命题常项指定真值。

例如：

命题“ヨxR（x，b）∧B”的解释

UD：｛江河｝

R：···比···长

b：黄河

B：T（即：真）

分析：

“B”是真的

“ヨxR（x，b）”也是真的

因为它的意思是：

有些江河比黄河长

这个断定是符合事实的

既然“ヨxR（x，b）∧B”的两个合取支都是真

因此，该命题相对于这个解释是真的

对于全称命题来说

论域中只要有一个反例

它就是假的

否则它是真的

对于存在命题来说

论域中只要有一个正例

它就是真的

否则，它是假的

6.1.2 普遍有效式和不可满足式

一个命题是普遍有效式

当且仅当，该命题相对于每一个解释都是真的

一个命题是不可满足式

当且仅当，该命题相对于每一个解释都是假的

例如：

ヨx（L（x）V¬L（x））

是一个普遍有效式

因为该命题相对于每一个解释都是真的

∀yJ（y）∧ ヨy¬J（y）

是一个不可满足式

因为该命题相对于每一个解释都是假的

一个不是普遍有效式的命题叫做“非普遍有效式”

一个不是不可满足的命题叫做“可满足式”

要确定一个命题是一个非普遍有效式

我们只需构造一个解释

使该命题相对于这个解释是假的

要确定一个命题是一个可满足式

我们只需构造一个解释

使该命题相对于这个解释是真的

例如：

∀x（M（x）→ヨyH（x，y））

的一个解释是：

UD：｛正整数｝

H：···小于···

M：···等于1

开语句“M（x）→3yH（x，y）”

所确定的条件是：

如果x等于1，那么x小于有些正整数

该命题至少相对于一个解释是真的

所以，该命题是一个可满足式

相对于有些解释为真

而相对于另一些解释为假

的命题叫做“可满足而非普遍有效式”

普遍有效式包括重言式

不可满足式包括矛盾式

重言式和矛盾式分别是

普遍有效式和不可满足式的特殊情形

6.1.3 逻辑等值和逻辑蕴涵

命题P和Q是逻辑等值的

当且仅当，相对于每一个解释

P和Q均为真或者均为假

例如：

∀x(A(x)→B(x))和∀x(¬A(x)VB(x))

是逻辑等值的

因为相对于任何解释

∀x(A(x)→B(x))和∀x(¬A(x)VB(x))

或者同真或者同假

既然逻辑等值的两个命题P和Q相对于每一个解释都具有相同的真值

因而，如果P逻辑等值Q

那么，等值式P↔Q相对于每一个解释都是真的

并且，如果P↔Q相对于每一个解释都是真的

那么，P和Q是逻辑等值的

于是，命题P和Q是逻辑等值的

当且仅当，P↔Q是一个普遍有效式

P逻辑蕴涵Q

当且仅当

相对于每一个解释

并非P真而Q假

例如：

命题“F（a）”逻辑蕴涵命题“ヨxF（x）”

P逻辑蕴涵Q

当且仅当

P→Q是一个普遍有效式

6.1.4 谓词推论的解释及其有效性

一个谓词推论是有效的

当且仅当

它相对于每一个解释并非所有前提真而结论假

例如：

ヨxI(x)

ヨxJ(x)

ヨx(I(x)∧J(x))

为了证明推论是无效的

我们给出它的一个解释

【解释11】

UD：｛人｝

I：···是幼儿

J：···是老头

推论读作：

有人是幼儿

有人是老头

所以，有人是幼儿并且是老头

推论的两个前提为真而结论为假

所以，推论是无效的

谓词推论的有效性的另一个定义：

一个谓词推论是有效的

当且仅当

该推论的所有前提的合取Pr逻辑蕴涵其结论C

换言之，一个推论是有效的

当且仅当

“Pr→C”是一个普遍有效式

6.2 推演

6.2.1 命题推演规则和量词转换规则

谓词逻辑是把命题逻辑作为子系统包含在内的

命题逻辑的二十条推演规则均属谓词逻辑的推演规则

除了命题逻辑的二十条推演规则以外

谓词逻辑还包含一些新的关于量词的推演规则

在我们的系统中将引进五条新的规则

这二十五条规则为我们证明任何一个有效的谓词推论

提供了充分并且必要的条件

一个谓词的推论是有效的

当且仅当

通过这些规则可以从它的前提推出它的结论

量词转换规则四对等值的公式：

∀xΨ（x）和¬ヨx¬Ψ（x）

∀x¬Ψ（x）和¬ヨxΨ（x）

ヨxΨ（x）唑¬∀x¬EΨ( x )

ヨx¬Ψ（x）和¬∀xΨ（x）

其中每一对公式的左右两边可以相互置换

量词转换规则

一个公式可以置换为这样一个公式

它的量词与原公式的量词相反

它的量词前后的否定号也与原公式的量词前后的否定号相反

6.2.2 全称量词的整推规则

谓词逻辑和命题逻辑之间最主要的区别是

前者处理量词

而后者不处理量词

如果在进行谓词推论时

先销去量词

得到结论以后再加上量词

那么谓词推论在很大程度上就还原为命题推论了

这就是谓词逻辑的自然演绎系统的基本思想

证明一个谓词推论的一般步骤是：

（i）根据有关规则销去量词；

（ii）求得不带量词的结论；

（iii）如果需要，那么，根据有关规则给结论加上量词。

例如：

任何人是不会飞的

所以张飞是不会飞的

分析：

这是一个有效推论

因为从一个全称命题可以推得它的一个替换例子

这是一条全称例示规则

全称命题的一个替换例子可以这样来得到：

先去掉作为主逻辑词的全称量词

然后将由此得到的开语句的自由变项的每一次出现一致地替换为一个个体常项的出现

例如：

对于全称命题“∀x（F（x）VG（x））”来说

“F（a）VG（a）”和“F（b）VG（b）”

都是它的替换例子

而“F（a）VG（b）”和“F（a）VG（x））”

都不是它的替换例子

我们用中Ψ（x）表示含有惟一自由变项x的任何开语句

x在其中可以出现一次或多次

其中的Ψ（）相当于元变项

任意目谓词包括复合谓词

用Ψ（a／x）表示Ψ（x）的一个替换例子

即用a替换Ψ（x）中的x的每一次出现所得到的那个命题

a叫做“例示常项”

全称例示规则又可以表述为：

∀xΨ(x)

∴Ψ(a/x)

这里的x和a都属于元变项

x的值可以取个体变项x、y、z中的任何一个

a的值可以取个体常项a，b，……w中的任何一个

例如：

(1)∀xR(x,a) 前提

(2)∴R(b,a) （1），全称例示

【推论3】

它的一个例子是：

所有的人喜欢牛顿

所以，爱因斯坦喜欢牛顿

全称例示规则和量词的推演规则

都只能应用于整个命题

而不能应用于命题的某一部分

因而均属整推规则

应用量词推论规则销去

或引人的量词必须处于公式的前端

并且其辖域延续到公式的末端

全称概括规则可以初步地表述为：

从一个全称命题的一个替换例子可以推出这个全称命题

全称概括规则表述为：

Ψ(a/x) a不在任何前提中或尚未撤除的假设中出现

∴∀x(x) a不在∀x(x)中出现

对全称概括规则的第一条限制：

在进行全称概括时

例示常项不在任何前提中或尚未撤除的假设中出现

对全称概括规则的第二条限制是：

在进行全称概括时，例示常项不在结论中出现

6.2.3 存在量词的整推规则

存在概括规则可以表述为：

从一个存在命题的一个替换例子可以推出这个存在命题

存在概括规则又可以表述为：

Ψ(a/x)

∴ヨxΨ(x)

例如：

诸葛亮是军事家

所以，有人是军事家

存在例示规则可以表述为：

如果由一个存在命题和它的一个含有新名的替换例子

可以推出一个不含新名的命题

那么，仅由这个存在命题可以推得这个不含新名的命题

存在例示规则又可以表述为：

6.2.4 构造一些推论的证明

构造谓词推论的有效性证明

如同构造命题推论有效性证明一样

需要使用“逆推”或“目标分析”的方法

推论的结论就是最终的“目标命题”

我们首先寻找一个或几个“过渡命题”

如果我们能够推出这些过渡命题

就能由它们推出目标命题

这些过渡命题又成为新的目标命题

于是我们又为这新的目标命题寻找新的过渡命题

以此类推，直到找到这样一些目标命题

我们能够容易地从前提推出它们

例如：

7 模态逻辑

模态逻辑是关于模态推论的逻辑

模态推论是那些依据模态词即“必然”或“可能”的推论

例如：

【推论1】

正义的事业必然胜利；

所以，正义事业可能胜利。

【推论2】

如果地球爆炸，必然导致人类灭亡；

地球爆炸是可能的；

所以，人类灭亡是可能的。

【推论3】

凡人皆有死，这是必然的；

所以，有些人不可能不死。

分析：

推论1、2和3均属模态推论

因为它们依据了模态词“必然”或“可能”的逻辑性质

7.1 一些基本概念

7.1.1 命题的模态

一个命题是偶然真的，当且仅当，它是真的但却可能假。

一个命题是必然真的，当且仅当，它不可能假。

一个命题是偶然假的，当且仅当，它是假的但却可能真。

一个命题是必然假的，当且仅当，它不可能真。

在模态命题逻辑中

可对命题作如下划分：

偶然命题并不等同于可能命题

可能真的命题除了包括

所有偶然真的命题以外

还包括偶然假的命题和必然真的命题

这种情况可以图示如下：

7.1.2 必然命题

逻辑命题都是必然命题

然而，并非所有的必然命题都是逻辑命题

数学命题和分析命题叫做“广义逻辑必然命题”

逻辑命题叫做逻辑必然命题

必要时叫做狭义逻辑必然命题

例如：

（6）摩擦生热

（7）热胀冷缩

（6）和（7）通常被叫做“因果必然命题”

因果必然命题的否定并不会导致自相矛盾

因果必然性的必然性很大程度上来自经验

以上所讨论的几种必然命题可以图示如下：

7.1.3 可能世界从最宽泛的意义上讲

凡是能够被无矛盾地想象的世界都是可能世界

例如：

我们可以无矛盾地想象一个世界

在那里人长着翅膀

河里流着石油

山是金子构成的·······

这样设想的世界就是一个可能世界

现实世界是可能世界的一个特例

因为现实世界不仅能被无矛盾地想象

而且它是现实存在着的

借助于“可能世界”这个概念

我们可以对

“可能命题”、

“必然命题”

“偶然命题”

给出进一步的定义：

一个命题是可能真的，当且仅当，该命题至少相对于一个可能世界是真的

例如：

“人长翅膀”、“河里流着石油”、“山是金子构成的”

就是可能真的命题

因为这些命题相对于刚才设想的那个可能世界是真的

一个命题是可能假的，当且仅当，该命题至少相对于一个可能世界是假的

例如：

刚才所说的那三个命题都是可能假的

因为它们相对于现实世界是假的

而现实世界也是一个可能世界

一个命题是必然真的，当且仅当，该命题相对于所有可能世界是真的

例如：

“人长翅膀或者人不长翅膀”就是必然真的

因为这个命题相对于所有可能世界都是真的

一个命题是必然假的，当且仅当，该命题相对于所有可能世界是假的

例如：

“人长翅膀并且人不长翅膀”就是必然假的

因为这个命题相对于所有可能世界都是假的

一个命题是偶然真的，当且仅当，该命题相对于现实世界是真的，但是至少相对于一个可能世界是假的

例如：

“河里流水”就是一个偶然真命题

因为它相对于现实世界是真的

而相对于前边所设想的那个可能世界是假的

一个命题是偶然假的，当且仅当，该命题相对于现实世界是假的，但是至少相对于一个可能世界是真的

例如：

“河里流着石油”就是偶然假的

因为它相对于现实世界是假的

但相对于前边所设想的那个可能世界是真的

由以上定义我们看到

必然命题与全称命题有着某种联系

即必然命题对所有可能世界有所断定

可能命题与特称命题有着某种联系

即可能命题对有些可能世界有所断定

正因为这样

必然命题和可能命题之间的逻辑关系

类似于全称命题和特称命题之间的逻辑关系

从而可以表示为一个类似的逻辑方阵：

例如：

已知：“正义的事业必然胜利”是真的

根据差等关系可推出：“正义的事业可能胜利”是真的

根据矛盾关系可推出：“正义的事业可能不胜利”是假的

根据反对关系可推出：“正义的事业必然不胜利”是假的

7.1.4 严格蕴涵

实质蕴涵的逻辑性质完全由“→”的特征真值表决定

“→”与日常语言的“如果···那么··.”的含义并不完全相同

例如：

（1）李白是诗人→2＋2＝4

是一个真命题

既然它的前件和后件都是真的

但是

（2）如果李白是诗人，那么2＋2＝4

在日常语言中则是一个假命题甚至是无意义的

这是因为日常语言中的蕴涵命题的真值

不仅取决于前件和后件的真值

而且取决于前件和后件之间的关系

具体地说，仅当前件和后件之间具有某种必然联系时

日常语言中的蕴涵命题才为真

命题（2）之所以常常被人们看作假的

就是因为它的前件和后件之间没有必然联系

模态命题逻辑提出一种不同于实质蕴涵的蕴涵关系

即“严格蕴涵”

其定义是：

P严格蕴涵Q，当且仅当，P→Q是必然的

例如：

（5）如果太阳从东边升起，那么2＋2＝4

（6）如果太阳从东边升起，那么早晨东方先亮

分析：

（5）和（6）的前件和后件都是真的

因而它们作为实质蕴涵命题都是真的

但是，作为严格蕴涵命题

只有（6）是真的

而（5）是假的

因为（5）的前件和后件之间没有必然联系

7.1.5 逻辑独立

逻辑独立的定义是：

一对命题P和Q是逻辑独立的

当且仅当，P不严格蕴涵Q

并且，Q不严格蕴涵P

例如：

“太阳从东边升起”和“2＋2＝4”是逻辑独立的

7.1.6 严格等值

严格等值的定义是：

P严格等值Q，当且仅当，PQ是必然的

例如：

（1）爱因斯坦是中国公民，当且仅当，爱国斯坦有中国国籍

（2）雪是白的，当且仅当，珠江经过广州

（1）的左右两支不仅真值相等，而且它们之间具有必然联系

因此，（1）作为严格等值命题是真的

虽然（2）的支命题都是真的，但由于（2）的两支之间没有必然联系

所以（2）作为严格等值命题是假的

逻辑蕴涵命题和逻辑等值命题分别属于严格蕴涵命题和严格等值命题

或者说，逻辑蕴涵和逻辑等值分别是严格蕴涵和严格等值的特例

7.2 模态命题的表达

7.2.1 基本符号与定义

为了对模态命题进行符号化

我们引入两个符号“□”和“◇”

分别代表模态词“必然”和“可能”

将□或◇加在任何一个命题P之前

便构成一个新命题

即□P或◇P

□P读作：必然P；或：P是必然真的

◇P读作：可能P；或：P是可能真的

□和◇可以根据如下定义相互转换：

□P定义为¬◇¬P

◇P定义为¬□¬P

例如：

说“必然下雨”等于说“不可能不下雨”

说“可能下雨”等于说“并非必然不下雨”

我们再引人两个符号“⇒”和“⇔”

分别代表模态词“严格蕴涵”和“严格等值”

有如下定义：

PQ定义为口（P→Q）；

P⇔Q定义为口（PQ）。

以上四个定义也可表达为：

□P⇔¬◇¬P

◇P⇔¬□¬P

（P⇒Q）⇔□（P→Q）

（P⇔Q）⇔□（P↔Q）

包含否定命题的模态命题的基本形式是：

□¬P。读作：必然非P；或：P是必然假的

◇¬P。读作：可能非P；或：P是可能假的

在模态命题逻辑中

可概括为两类

即必然命题和偶然命题

必然命题是必然真或必然假的命题

即：

□PV□¬P

偶然命题还可表达为：

◇¬P∧◇P

偶然真和偶然假的命题可被分别表示为：

P∧◇P∧◇¬P

¬P∧◇P∧◇¬P

或者：

P∧◇¬P

¬P∧◇¬P

偶然真命题是（现实）真而可能假的

偶然假命题是（现实）假而可能真的

7.2.2 整体模态与部分模态

我们把其辖城包括整个公式的模态词所表达的模态叫做“整体模态”

而把其辖域只包括部分公式的模态词所表达的模态叫做“部分模态”

把具有整体模态的命题叫做“整体模态命题”

而把仅仅具有部分模态的命题叫做“部分模态命题”

例如：

（1）□（A∧B）

（2）□A∧B

分析：

（1）是整体模态

（2）是部分模态

7.2.3 模态命题的自然语言表达

在自然语言中

模态词的辖域常常是靠模态词

和标点符号在命题中的位置来暗示的

如果模态命题中含有复合命题

表达整体模态的模态词一般出现在命题的最前或最后

必要时用逗号将模态词和其他部分隔开

例如：

必然地，明天下雨并且明天刮风

或

明天下雨并且明天刮风，这是必然的

分析：

如果一个模态命题不含复合命题

而只含一个简单命题

那么，其中的模态词总是表达整体模态

而无论模态词在命题中的位置如何

例如：

可能明天下雨

明天可能下雨

明天下雨是可能的

这几个命题都是整体模态命题

尽管模态词“可能”出现在其中的位置是不同的

7.3 模态命题逻辑发展概况

亚里士多德发现了模态逻辑的一些基本原理

例如：

¬◇¬P⇔□P

□P，∴◇P

P，◇P

实质蕴涵的不恰当性集中体现在所谓的 “实质蕴涵怪论”

即:

P→(Q→P)

¬P→(P→Q)

前者说的是

一个真命题被任何命题实质蕴涵

后者说的身是

一个假命题实质蕴涵任何 命题

刘易斯觉得这两命题是荒唐可笑的

所以刘易斯提出“严格蕴涵”的概念

但却出现了“严格蕴涵怪论”

即：

□P⇒（Q⇒P）

□¬P⇒（P⇒Q）

前者说的是

一个必然真的命题被任何命题严格蕴涵

后者说的是

一个必然假的命题严格蕴涵任何命题

刘易斯一共提出五个模态命题逻辑系统

分别叫做S1、S2、S3、S4、和S5

其中每一个系统是它前一系统的扩展

7.4 系统 T

这个系统是由赖特和费斯于更早提出

费斯把该系统称为T

7.4.1 置换规则

根据前边已经介绍的四个严格等值式即：

□P⇔¬◇¬P

◇P⇔¬□¬P

（P⇒Q）⇔□（P→Q）

（P⇔Q）⇔□（P↔Q）

根据这四个等值式所作的置换可以说明为：定义

7.4.2 必然模态词的整推规则

把模态命题推论还原为命题推论

在模态命题逻辑中也有四个相应的推演规则：

必然销去规则

必然引入规则

可能销去规则

可能引入规则

模态词的这四条推演规则也都属于整推规则

只能用于整个命题

而不能用于命题的某一部分

□销规则（必然销去规则）可以表述为：

从“□P”可以推得“P”

其模式是：

□P

∴P □销

□销规则的合理性是显而易见的

已知一个命题是必然真的

可以推知该命题是真的

□引规则（必然引人规则）的基本思想是：

如果一个或一些命题是必然的

那么，由这个或这些命题推出的结论也是必然的

这一思想也可用公式表述为：

（P⇒Q）∧□P→□Q

T-重述规则：

在证明过程中

如果□P出现

那么P可以进人一个口引域

□P的这一出现不在任何已被撤除的假设域内

7.4.3 可能模态词的整推规则

可能模态词的整推规则也有两条

即可能引人规则和可能销去规则

◇引规则（可能引入规则）：

从P可推得◇P

其模式是：

P

∴◇P ◇引

说P是真的

就是说，P或者必然真的，或者是偶然真的

P是真的，逻辑蕴涵，P是可能真的

◇销规则（可能销去规则）的基本思想是：

如果一个命题是可能的

那么，由这个命题推出的结论也是可能的

这一思想也可用公式表述为：

（P⇒Q）∧◇P→◇Q

7.5 系统 S4

7.5.1 重迭模态词

两个以上连续出现的模态词构成重迭模态词

例如：

□□P

P→□◇□◇Q

◇□◇（PV◇Q）

中都含有重迭模态词

一个由“⇒”或“⇔”表达的严格蕴涵命题或严格等值命题

前边只要有一个模态词则

间接地含有重迭模态词

被“¬”隔开的两个模态词间接地构成重迭模态词

7.5.2 S4-重述规则

□□P用自然语言表达为“P必然真是必然真的”

现在我们要问：

“P必然真是必然真的”和“P是必然真的”

这两句话之间是否有实质性的区别？

如果没有，□□P就应化归为□P

把□□P化归为□P就是系统S4的一个特点

S4-重述规则：

在证明过程中

如果□P出现，那么，□P可进人一个口引域

□P的这一出现不在任何已被撤除的假设域内

应用S4-重述规则证明定理□P⇒□□P

证明如下；

7.5.3 模态词的化归

S4化归律：

□P⇔□□P

◇P⇔◇◇P

S4定理

◇□P⇔◇□◇□P

□◇P⇔□◇P

7.6 系统 S5

7.6.1 S5-重述规则

S5-重述规则：

在证明过程中

如果□P或◇P出现

那么，□P或◇P可进入一个口引域

□P或◇P的这一出现不在任何被撤除的假设域内

公式◇P⇒□◇P是S5所特有的一个定理

这一定理在S5中的证明：

S5定理：

◇P⇔□◇P

□P⇔◇□P

7.6.2 模态词的化归

S5中一共有四条化归律：

□P⇔□□P

◇P⇔◇◇P

◇P⇔□◇P

□P⇔◇□P

S4中有四种重迭模态词不能化归：

◇□P

□◇P

□◇□P

◇□◇P

S5化归规则：

“Δ₁Δ₂……Δ₄P”和“Δ₄P”可以相互置换

希腊字母“Δ”是关于模态词的元变项

它的值是模态词“□”或“◇”

“Δ₁Δ₂······Δ₄”是重迭模态词

这一化归规则只属于S5

7.6.3 一些定理和推论的证明

7.6.4 构造反例

为证明一个模态命题推论是无效的

我们只需给出该推论形式的一个反例

例如：

中国实现工业现代化是可能的

中国实现农业现代化是可能的

所以，中国实现工业现代化并且实现农业现代化是可能的

分析：

令：G：中国实现工业现代化

N：中国实现农业现代化

推论可被符号化为：

◇G

◇N

∴◇(G∧N)

为证明此推论形式无效

我们给出如下解释：

G：明天下雨

N：明天不下雨

由此解释我们得到该推论形式的一个反例：

明天下雨是可能的

明天不下雨是可能的

所以，明天既下雨又不下雨是可能的

该推论的两个前提都是真的

而结论是假的

由此可以断定

上个推论是无效的

7.7 各个系统的可能世界模型

7.7.1 可能世界之间的可达性关系

说一个命题是必然真的

就是说，该命题在所有可能世界中是真的

说一个命题是可能真的

就是说，该命题至少在一个可能世界中是真的

然而，这些定义还不够严格

我们就可以更为精确地定义命题的必然性和可能性：

一个命题相对于一个可能世界是必然的

当且仅当，在该可能世界可达的每一个可能世界中，该命题是真的

一个命题相对于一个可能世界是可能的

当且仅当，至少在一个该可能世界可达的可能世界中，该命题是真的

7.7.2 系统T的可能世界模型

一个系统的可能世界模型具有这样的性质：

该系统的所有定理在该模型中都是真的

而其他不同系统的定理

至少有一部分在该模型中是假的

我们先考虑系统T的可能世界模型即模型T

模型T是：

以上模型中的三个圆表示三个可能世界

即W1、W2和W3

可能世界之间的“→”表示“可达”关系

“表示“不可达”关系

从这一模型中我们看到

如果第一个可达第二个

第二个可达第三个

那么，并非第一个可达第三个

在这样一个既非对称性又非传递性

但却具有自返性的可能世界模型中

系统T的所有定理都成立

但是，S4和S5的一些定理却不成立

例如：

模型T-a构造

模型T-a使得S4和S5的特征公式在其中不成立

我们把模型T-a叫做S4和S5的特征公式的模型反例

7.7.3 系统S4和S5的可能世界模型

系统S4和S5的可能世界模型分别称为模型S4和模型S5

模型S4是：

模型5是：

系统T的可能世界模型的特征是

其可能世界之间的可达性关系只具有自返性而不具有对称性和传递性

系统S4的可能世界模型的特征是

其可能世界之间的可达性关系具有自返性和传递性但却不具有对称性

系统S5的可能世界模型的特征是

其可能世界之间的可达性关系同时具有自返性、对称性和传递性

我们已经讨论了三个模态命题逻辑系统

事实上，现已建立的模态命题逻辑系统已经超过十个

人们不禁要问，在这众多的模态逻辑系统中，是否存在一个最好的系统呢？

从纯形式方面来看，这些系统一样好

因为它们不会导致逻辑矛盾

但是从应用方面来看，这些系统往往会有优劣之分

8 命题逻辑的元理论

8.1 对象语言与元语言、常项变项与变项变项

8.1.1 对象语言与元语言

对象语言是被讨论的语言

元语言是用于讨论对象语言的语言

当一个符号表示对象语言的语词或语句时，这个符号被使用

当谈论这个符号本身时，这个符号被提及

被提及的符号属于元语言，而不属于对象语言

这里谈的是“符号”的提及和使用

符号包括语词或语句

因而更具普遍性和抽象性

例如：

用汉语写的英语课本

英语是对象语言而汉语是元语言

其中可能有如下内容：

英语的不定冠词包括a和an

在这里，“a”不表示英文的第一个字母

而是表示“一个”、“某个”等意思

在这段话中，“a”的第一次出现是被使用

因而没有放在引号中

“a”的第二次出现是被提及

因而被放在引号中

对象语言不含元语言的成分

但元语言可以包含对象语言的成分

例如：

正如一本英文书不包含汉语

但用汉语写的英语课本既包含汉语

又包含英语

8.1.2 常项变项与变项变项

现在，我们有必要区分常项变项和变项变项

对从自然语言的角度讲，常项相当于专有名词即专名，如“北京”

变项相当于普通名词即通名，如“城市”

在符号逻辑中，通常所说的常项和变项在符号逻辑中成为常项变项和变项变项

例如：

先以数学中的圆方程为例

圆方程是：

x² + y² = r²

分析：

其中r是常项变项

它代表某一圆半径的长度

x和y是变项变项

它们可以在变域［-r，r］中任意取值

而无需用某一特定值代人

变项可以受量词的约束

被量词约束的变项被称为“约束变项”

未受量词约束的变项被称为“自由变项”

就对象语言和元语言而言

当一个符号表示对象语言的语词或语句时，这个符号被使用

当谈论这个符号本身时，这个符号被提及

表示一个符号被提及的惯用方法是把这符号放在引号中

被提及的符号属于元语言，而不属于对象语言

被放在引号中的符号是这个符号在元语言中的专名即元专名，亦即元常项

与之不同，元变项不是表示对象语言的某一个符号，而是表示对象语言的某一类符号

相应地，元变项不是被放在引号中

而是用与对象语言某类符号相应的黑体字（或用其他什么方式）来体现

元变项也就是元通名

8.2 SL的语法

8.2.1 SL的基本语法

关于一个逻辑系统的整体性质的理论叫做这个逻辑系统的元理论

命题逻辑系统只研究以命题为最小单位的推论

而不深人到命题常项内部的词项之间的结构

为此，它有一套相应的符号语言

这种为命题逻辑而设的符号语言记为“SL”（即“Sentential Logie”的缩写）

符号语言有语法（syntax）和语义（BemanticB）之分

语法只涉及符号语言的纯粹形式，而不涉及它的内容

语义则在一定程度上涉及符号语言的内容

符号语言的语法包括：

初始符号

由初始符号构成适当的符号序列的规则即形成规则

由一种形状的符号序列变为另一种形状的符号序列的规则即变形规则等

一种符号语言中的适当的符号序列叫做该语言的“合式公式”

符号语言的初始符号相当于自然语言的语词

合式公式相当于自然语言的合乎句法的语句

符号语言的变形规则相当于自然语言的推论规则

以下是SL的语法的具体内容

一、初始符号：

1．命题常项：从A到Z的大写字母（带或不带正整数下标）

2．联结词：¬，V，∧，→，↔

3．辅助符号：（，）

二、形成规则：

1．每一个命题常项是一个命题。

2．如果P是一个命题，那么¬P是一个命题。

3．如果P和Q是命题，那么（P∧Q）是一个命题。

4．如果P和Q是命题，那么（PVQ）是一个命题。

5．如果P和Q是命题，那么（P→Q）是一个命题。

6．如果P和Q是命题，那么（P↔Q）是一个命题。

7．只有通过应用或重复应用以上项目的一条或多条而形成的符号式是命题

三、推演规则（变形规则）：

包括八条整推规则

十条置换规则条件证明规则和间接证明规则

二十条推演规则在SL之内构成一个推演系统

我们把这个推演系统记为“SC”

SC只是诸多命题逻辑系统中的一个

SC的一个推演是由SL的一系列命题构成的

其中每一个命题以三种方式之一出现：

作为一个前提，作为一个假设

或者由在先的命题通过应用SC的推演规则得出

每一个假设的出现伴随一个由两条短横线连接一条竖线构成的区域

这个区域叫做该假设的假设域

一个假设以及处于该假设域的每一个命题都隶属于该假设

每一个假设的假设域内的推演构成一个由该假设引导的子推演

如果由一个假设P引导的子推演处于另一假设Q的假设域之内

那么隶属于P的所有命题也都隶属于Q

SL的一个命题集是以SL的命题为其成员的

表达一个命题集合的惯常方式是把该集合的命题逐一列出

用逗号隔开，并放在一对曲括号中

例如：

｛B，AVD，D→B｝

表示由B、AVD和D→B这三个命题构成的命题集

这三个命题是这个命题集的全部成员

我们用“Γ”表示SL的任一命题集

令Γ和Γ＇分别表示两个集合

空集用Φ表示

如果Γ的每一成员都是Γ＇的成员

那么，Γ是Γ＇的一个子集请

如果集合F是集合Γ＇的一个子集

集合Γ和Γ'的并集表示为:

Γ U Γ'

SL的一个命题P在SC中是从命题集Γ可推演的

当且仅当,存在一个SC 的推演

它的所有前提都是Γ的成员

并且P在该推演中至少有一次出现不隶属于任何假设

亦即P至少有一次出现不在任何假设域中。

这是关于“SC可推演” 的定义

P是从Γ可推演的,可以表示为:

Γ├ P

8.2.2 一些语法元定理及其证明

【元定理8.2.1】

在SC中，如果Γ├P

那么对于Γ的每一个母集Γ＇而言

Γ＇├P

这个定理断言：

如果从一命题集合Γ可以推出P

那么，从Γ的每一母集Γ＇也可推出P

【元定理8.2.2】

如果SL的一个命题集Γ是SC不一致的

那么，SL的任一命题Q在SC中是从Γ可推演的

【元定理8.2.3】

对于任何命题集Γ和任何命题P

在SC中ΓP，当且仅当

ΓU｛¬P｝是SC不一致的

【元定理8.2.4】

如果命题集Γ是SC不一致的

那么，Γ的每一个母集Γ＇是SC不一致的

【元定理8.2.5】

如果命题集Γ是SC不一致的

那么，至少有一Γ的有限子集是SC不一致的

【元定理8.2.6】

如果至少有一Γ的有限子集Γ＇是SC不一致的

那么，Γ是SC不一致的

【元定理8.2.7】

一个命题集Γ是SC一致的

当且仅当，T的每一有限子集是SC一致的

8.3 SL的语义

8.3.1 SL的基本语义

SL的语法只涉及符号语言的纯粹形式，而不涉及它的内容

语义则在一定程度上涉及符号语言的内容

五个真值函项联结词的特征真值表就是SL的最基本的语义

我们首先讨论命题集的一个重要性质即真值函项一致性

【定义】

SL的一个命题集Γ是真值函项地一致的

当且仅当，至少有一真值指派使得Γ的每一成员是真的

SL的一个命题集Γ是真值函项地不一致的

当且仅当，Γ不是真值函项地一致的

【定义】

SL的一个命题集Γ重言蕴涵一个命题P

当且仅当，没有一个真值指派使得

Γ的每一成员为真而P为假

引人一个符号即“F”表达重言蕴涵关系：

Γ⊨P

读作：Γ重言蕴涵P

8.3.2 一些语义元定理及其证明

【元定理8.3.1】

SL的一个命题P是矛盾式

当且仅当，｛P｝ 是真值函项地不一致的

【元定理8.3.2】

SL的一个命题P是重言式

当且仅当，｛¬P｝是真值函项地不一致的

【元定理8.3.3】

SL的一个命题P是偶然式

当且仅当，｛P｝和｛¬P｝ 都是真值函项地一致的

【元定理8.3.4】

SL的命题P和Q是重言等值的

当且仅当，｛¬（P↔Q）｝是真值函项地不一致的

【元定理8.3.5】

对于SL的一个命集Γ和一个命题P

如果Γ⊨P，那么Γ∪｛¬P｝ 是真值函项地不一致的

【元定理8.3.6】

对于SL的一个命题集Γ和一个命题P

如果Γ∪ ｛¬P｝是真值函项地不一致的，那么Γ⊨P

【元定理8.3.71】

SL的一个命题P是重言式

当且仅当，Φ⊨P

8.4 数学归纳法

8.4.1 什么是数学归纳法

数学归纳法的基本原理是：

为证明某一定理对于某一领域的所有对象都成立

把该类对象以某种方式进行排序

然后分两步进行证明：

①证明定理对该序列的第一项成立

②证明如果定理对第K项成立

那么它对K＋1项也成立

前者证明的是奠基命题

即“定理对该序列的第一项成立”

后者证明的是归纳步骤

归纳步骤的前件

即“定理对第K项成立”叫做归纳假设

这两个步骤一旦完成，该定理便被证明对该领域的所有对象成立

因为，根据步骤一，该定理对第一项成立

根据步骤二，该定理对第二项也成立

由于该定理对第二项成立，根据步骤二，它对第三项成立

再根据步骤二，它对第四项成立

以此类推，该定理对所有项成立

8.5 联结词的真值函项完全性

8.5.1 什么是真值函项完全性

命题逻辑所讨论的联结词只是那些被真值函项地使用的联结词

这种联结词被叫做“真值函项联结词”

由真值函项联结词所产生的复合命题叫做“真值函项复合命题”

其特征是：

一个复合命题的真值完全决定于其支命题的真值

这就是说，这种复合命题是一个真值函项

其自变项是其支命题的真值，其依变项是这个复合命题的真值

一个真值函项复合命题无论多么复杂，我们都有一种刻画它的能行方法

即用一种机械的方法在有穷步骤内构造它的真值表

SL的联结词具有真值函项完全性

陈晓平老师 视频教程：

逻辑学 华南师大陈晓平教授