我为什么不洗水壶——一个关于“千滚水”的讨论

文/厕所所长

在我工资还很低的时候，花了几百块钱买了这样一个烧水壶，可以烧水、保温、电动出水，就像下面这个图里一样。

现在用了三四年了，我不知道大家有没有这样的困惑，即，当每一壶水快要喝完的时候，总是因为水壶的结构，有一部分水打不出来——

你们看上面这个图就能看到，水每次都是打不完的，剩一点点。

以前经常听人说什么“千滚水”对健康有害（虽然已经有人辟谣，但是我们在这里暂不讨论），那如果我一直不洗水壶，这一部分水不就会反复沸腾吗？理论上说，比较好的做法是，每喝完一壶水，都把这个剩下的水倒掉，重新装水，喝完再倒掉，如此反复。但是，对于我这种连洗碗都嫌麻烦以至于要用锅吃饭的人来说，真的是太麻烦了。

于是我就想，如果我每次都不把水倒掉，直接加满水继续烧，那我到底会喝掉多少所谓的“千滚水”呢？下面我们就来讨论一下这个问题。你们将会看到，其实只要使用一些中学数学的知识，我们就能得出一个粗略的答案。

首先，我们假设每次加水的时候，都把水正好加到了水壶的最大容量，就是图上那个“最大”刻度线的位置，产品说明书告诉我，这个容量是2.2L。

其次，我们还要假设每次烧水的时候，没有蒸发，所有的水全部烧开并最后被我喝掉。这个假设是合理的，因为如果我们要考虑蒸发的问题，无非是在总水量上乘以一个略小于1的系数而已。

我实际测量了一下，第二张图的那个剩余水量，深度大概5mm，这个深度每次都差不多是这样，因为这是由水壶的构造决定的。而水壶的直径，大概160mm。

于是可以知道，水壶的底面积应该是：

水壶容积为2.2L，且从上到下近似为一圆柱体，故水壶内胆高度应该是：

所以我们知道，每次剩余水量，大概是5mm/110mmm，即全部水量1/22，大概100ml。

下面，我们就可以开始了。假定这个水壶是个新水壶（你们虽然看到我的水壶很脏但是我就是要假定这是个新水壶，不服你们就送我一个新的），那我们的第一壶水烧开并喝“完”（注意这里有剩余水量）的时候，我们喝掉了“一滚水”2.1L，还剩余“一滚水”0.1L。

然后，我们不倒掉这剩余的0.1L水，开始烧第二壶水。

显然，我们又加入了2.1L新水，然后一起烧开，这时，我们水壶里有2.1L的“一滚水”和0.1L的“二滚水”。

然后我们开始喝，应该可以假定，这0.1L的“二滚水”是均匀分布在整个水壶里的，于是，我们这次喝掉了21/22的整壶水，相当于喝掉了0.1*21/22L的“二滚水”。这时，壶里还剩下0.1*1/22的“二滚水”和0.1*21/22的“一滚水”。

这样说可能太抽象了，我决定画一张表：

由此就很容易看出，每次喝掉的水的成分：

然后就很容易归纳出，每烧水m次，你喝掉的n滚水的体积：

我这里假定m不小于3，因为如下图，很多水壶上都有“除氯”之类的标识（虎牌打钱？），所以讨论“二滚水”是没有什么意义的。

这样，你就可以根据上面的公式，算出你烧水多少次，会喝到多少几滚水。比如，我要讨论喝到烧水10000次喝到5滚水的量，就可以直接代入，得

你可以看到，即使你烧水一万次，（按每天烧三次，大概得烧十年吧）摄入的五滚水量都是很少的，大概连10ml都不到，更不要说“千滚水”了。

可是，问题还没有结束，我们如果假定水烧的次数越多，对人体越有害，那我们就还需要讨论，对于任意给定的m，我们对于“n滚以上水的摄入量”。

由上面的公式，这个摄入量应该是：

我们先写

稍有中学数学基础的人就会知道，上式前半部分是等比数列求和，求和非常简单。而后半部分是一个典型的“等差乘等比数列求和”问题，只需要将等式两边乘以公比，再两式相减，就可以很容易的求出通项公式。

于是，在略去了一些简单的计算之后，我们有：

然后，我们可以同样取m=10000和n=5来讨论，注意，这次我们可以直接算出在一万次烧水过程中，我们饮用超过五滚水的量，代入数据，进行简单计算可以得到：

也就是说，你在十年里面，如果每天喝六升多水（相当于5瓶1.25L的雪碧，你自己感受一下），摄入五滚以上水的量大概是90ml，不到一个水壶底的量。所以，那些有强迫症纠结于烧水壶底下的水要不要倒掉的同学，请放心的飞奔吧，你没那么容易被毒死！

我老婆经常说我，你杯子都要跟马桶一样脏了，但她不知道的是，其实我们的水壶也是。

而且，我最后就想问你们一句，你们见过这么干净的马桶吗！