『运筹OR帷幄』转载

作者：学弱猹

编者按

本系列旨在让大家对“大学数学”这个概念有一个精确而清晰地理解。本文着重关注大学数学的特点，从几门数学专业必修课出发，通过具体的数学课上例子来一步步刻画出“大学数学”的方方面面。

各位好！不好意思，大家久等了！

随着人工智能的兴起，它对数学的依赖也反复地被大家所提及。数学在互联网上的讨论也从来都没有停过。因此我计划写2-3篇文章，尽可能介绍大学/本科数学的全面貌，并与我自己的AI相关的工作经验结合，聊一聊它们给我们工作带来的启示。

这是我们系列的第2篇。在上一篇文章中，我们用本科数学系中实际学到的知识，介绍了它的几个与众不同的地方。具象与抽象并存，至繁与至简共生，是一句简要的概括。那么这一篇，我们更加聚焦一些，回答下面两个具体的问题。

三大数学专业：纯数学，应用数学，与统计学，应该如何区分？

一个常见的大学数学学习的内容顺序是什么？

希望读者阅读完这一篇文章之后，能够对这两个问题门儿清。并且更重要的是，能够更有针对性，更有效率。至于本科数学学习的方法论部分，我想放在下一篇文章，因为从具体到抽象，是我更喜欢的一种思考方式。读者在对这些内容有了印象之后，再提及具体的方法论的时候，就可以借用这一节的内容作为例子，达到理论与实践大一统的效果。

那么我们开始吧。

纯数学：上帝创造了我，而我要找到它

不知道有多少人会觉得，微观粒子结构和星系，这两个宇宙两端的数量级的事物，它们之间，长得很像？这是一个物理学的未解之谜，不知道有多少立志当科学家的有志之士，还在为揭开宇宙的秘密而奋斗。看到标题，会不会有人想起最近的有关“宗教在民间的渗透”的报道？难道，猹哥是来传教的？哈哈哈，虽然我自己是一个无神论者，但或多或少，我也会相信自然，相信宇宙，相信还有不知道多少自然宇宙埋藏下来的神秘，等待我们去探索。有多少纯数学的研究者，不是带着一种，希望发现数学的秘密的信仰来的呢？

纯数学（pure math）就是这样的一门学科，一门专门研究数学本身，不以实际应用为目的学问，研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学本身的规律的学科。人在被逼到绝境的时候，什么都可以做得出来，却做不出来数学题。纯数学，作为数学皇冠中最高处的那一片领域，相信等待着的，也是属于这一片领地的，数学王子与公主吧。

为了在纯数学领域夺得一席之地，在每一位研究者的大脑中，已经不再仅仅是“一个一个”的知识点，而变成了“一类一类”的思考和归纳。这就是我们上一节所说的抽象能力，而纯数学中，对于这样的抽象，已经达到了巅峰。一个克莱因瓶长什么样？对于学过拓扑学的猹哥来说，可能还能想象出，橡皮筋穿过瓶面所形成的四维图形。但一个极小曲面长什么样？可能有人有清晰的图像，但是对于我来说，我想不出来，就更不要说他们纯数学工作者在研究的东西了。

可能有的人会怀疑说，我在上一节曾经说过，一个好的结论，一定是简单的。那么 **这些复杂到世界上已经很少有人能够了解的纯数学的领域，又何谈“简单”呢？**又如何能说数学的结论是”简单“的呢? 我想说，很多时候，我们看到的结论是简单的，但是过程呢？可别忘了，我们说过，数学是重视逻辑和过程的科学。哥德巴赫猜想的结论是简单的，深度学习的应用是简单的。可是哥德巴赫猜想已经五十多年没有突破，解析数论的工具也已经被数学家陈景润（也是我们厦大的校友哦）判了死刑。深度学习也没有一个成熟的数学理论，可以被用来解释它优于传统方法的原因。可是如果没有这些数学家们的努力，又哪来这些数学界脍炙人口的结论呢？ 所以学习纯数学，对纯数学感兴趣的朋友们，他们就像有了对于数学的信仰。上帝创造了这个世界，创造了这些有趣的结论。而他们的使命，就是找到上帝，找到这些奇妙现象背后，上帝所埋藏的秘密。

应用数学：我可以运筹帷幄，我也可以亲力亲为

相比较纯数学而言，应用数学（Applied Math，根据丘赛的标准，计算数学也属于应用数学的范畴）就显得没有那么的唯心主义了，它依然具有数学中抽象的思维，但它已经不再显得那么的虚无缥缈，难以捉摸。这是因为，相比较应用数学而言，它的目标，是希望让数学为人类所服务，让数学可以被其它学科所应用。虽然它和纯数学一样，也是重视抽象，推理和逻辑的，但是这对于过程的研究和刻画，更多是为了让我们感到放心，相信一些结论是正确的，并且是可以为我们所用的。可以说，应用数学站在了一个中间面，推导和证明细节是核心，应用和工具思想则是本质，好似一个天平，左右的倾斜都会背离应用数学的本心。

可以说，为了落实应用，应用数学相比较纯数学来说，已经做了很多的简化和收束。个人认为，现在的本科数学学完之后，我们已经了解和熟悉了数学这一门学科的思维和基础知识，也可以说我们入了应用数学的门，但纯数学的大门其实依然紧锁。但千万不要认为应用数学就是数学的应用，这就是典型的因果倒置了。很多人会抱有“学数学的人难以交流，钻牛角尖”的偏见，虽然实际的情况没有那么夸张，但确实会多多少少带有一点这样的特质。因为一个大厨，是不会接受将别人已经做好的饭菜端到他面前的。也就是说，有了应用数学的知识和工具，我们才能考虑各种跨学科的应用，而不是单纯的使用其他相关学科的工具，而忽视工具背后所经历的千锤百炼。授之以鱼，不如授之以渔，这一点适用于所有重视推理的学科。但我觉得，最适用于应用数学。

我自己碰巧是应用数学和计算数学这个方向出来的，四年的数学训练更多的是让我有了一种工具思想。事实上，即使是“应用”数学，目前的数学课其实也已经不太够用了。现在的应用数学的研究生和博士生，泛函分析，偏微分方程这两门本科数学系都算高难度的课程，一直都是专业必修的基础课。听起来似乎难以理解，但要把数学这么一个掺不得沙子的东西放到现实中，水土不服也在所难免。对机械控制的建模需要依赖微分方程组的建模和性质判断，对气象的刻画需要有限元的分片和偏微分方程数值解的算法设计。这些都是实打实的应用，但这些也确实都是实打实的需要很难的数学知识的领域，而没有应用数学，方程会陷入混沌，算法也会变得发散而难以收拾。可以看出，不管是应用数学，还是计算数学，它作为数学的本质并没有变化，依然需要很强的数学知识的铺垫，才能胜任这个学科。但相比较纯数学来说，它作为“上帝的科学”似乎又有些离经叛道的味道，所以我也很难说究竟怎么描述应用数学，但相信读者读到这里，应该可以把它和纯数学，做一个很好的对比，这倒也够了。

最后，关于计算数学对于纯数学的要求，我写过一篇回答，也贴在这里

问答转载——计算数学对纯数学能力要求大概到什么程度?

统计学：谁说数学不能刻画现实？

最后我们来唠一唠统计学。统计学（Statistics）是通过搜索、整理、分析、描述数据等手段，以达到推断所测对象的本质，甚至预测对象未来的一门综合性科学。如果单看这一句话，单看这对于统计学的定义，似乎统计学和数学根本就没有什么关系，而更像是数据科学。这也是为什么，经常会有“数学不是统计，统计不是数学”的说法，我在上一节也已经说过。但是事实上，就统计学的发展而言，这种分析，描述，都基于数学系的概率统计课，而这些严谨来说，依然是数学。所以对于统计学的学生来说，虽然主要的课，像时间序列分析，多元线性回归等，依然需要依赖一些数分高代，但它的思维已经非常接近实验科学，如今的统计学研究中，虽然依然存在相当多的方向，是需要依赖非常扎实的本科，乃至研究生的数学基础的，但也已经有一些方向，发表相关的论文已经不需要太多的theories，更多的是希望针对数据去做一些预测和判断，而这些刻画的方法，多半也是需要数学知识的。

相比较纯数学和应用数学来说，很多学习统计学的同学可能不会太用到太多纯数学或应用数学的课程，例如抽象代数和泛函分析。这也是统计学这个学科立足于现实所带来的一些抽象度的缺失，但也反过来使得统计学变成了数学专业中，应用最广的，最好找工作的一门学科。另外需要强调的是，对于统计学来说，虽然描述，应用成为了统计学的一大使命，但对于统计学专业来说，基本的数学思维的训练依然必不可少。毕竟我们已经说过，统计学（即上一节的概率统计）归根到底，是数学向未知和现实发起的挑战。放在人工智能领域，我们也几乎处处都能看到统计学的影子，如线性回归，逻辑回归与概率图模型。但是这些统计学的背后都是严格的数学语言，而不仅仅只是描述和应用。

最后，放一段Eric Xing（原CMU教授，10-708的instructor）的话

在你使用深度学习堆砌网络结构的时候，不会care太多变量之间的统计关系的吧？但是这个很重要。很多人分析不出来，或者干脆不分析这种关系，就直接考虑网络结构的实现了。

不得不说，这好像就是我啊……

一条推荐的大学数学入门路线

现在我们来唠一唠这一篇文章要解决的第二个问题，即一个常见的大学数学学习的内容顺序是什么？同样，这里也只是以个人经验来谈，每一个人的学习体验，经历都不同，可能会给出不同的答案。为了防止不同的路线之间造成的严重冲突，我也不会提供一条固定的路线（即一定要先学什么什么，再学什么什么）。

Step 1：打好数学分析和高等代数的基础

数分高代究竟有多重要，哪怕你不是数学系都应该有所耳闻，这里我们强调“打好基础”，自然是希望大家在这些方面多下功夫，包括阅读课本和寻找习题。比方说统计系的《回归分析》，《多元统计》，应数的《矩阵论》，还有基础课《实变函数》等，都需要依赖很多这两门课的工具。

这里要给大家纠一个偏，很多人会问到一个问题就是有没有必要刷吉米多维奇。答案很明显是否定的，因为吉米多维奇的题量极大，且多为计算技巧的磨练。或许在工科中会遇到比较多做积分的场景，但是在数学系中，重视计算而轻视证明是彻彻底底的大忌。同样的，学习很多如何计算，其实对于应用来说也不一定有什么必要。毕竟我们还有数值积分和计算机呢……

Step 2：

常微分方程，实变函数，复变函数，概率论

纯数：抽象代数

应数：数值分析

统计：数理统计

学习完基本的数分高代（数学分析是3个学期，高等代数是2个学期）之后，之后一般来说，会学习实变函数，复变函数。为了了解基本的统计概念，一般来说概率论也是所有学科的必修。然后根据每个人的偏好的不同，会选择不同的课程，比如说纯数会学习抽象代数，应数会学习数值分析，而统计则会学习数理统计。

注意这里只是根据不同的专业和方向，挑选了不同的专业方向课，但是实际的安排中，我们不推荐大家在本科阶段，学有余力的时候只挑选自己的专业方向，而更多的应该兼收并蓄，拓宽视野。比方说在厦门大学数学系，抽象代数是纯数，应数都要学的必修课，而概率论与数理统计这两门课，也基本上是每一个同学都会去修的课。虽然说这两门课看似是统计系的课，但是在当今学科交叉的这个时代，多学一些没有什么坏处（当然，要学有余力的情况下）。

Step 3:

纯数：泛函分析，微分几何，微分流形，代数拓扑

应数：泛函分析，数值线性代数，数值逼近，微分方程数值解法，数值优化，运筹学

统计：回归分析，多元统计，时间序列，精算数学，非参数统计

到了第三步，其实基本上可以算作是“基础性”的课程，都已经列的差不多了。在厦门大学，这一年的目的就是根据规定的选修学分，按照自己的兴趣在各个领域选满课就可以。我根据自己的经验划分成了这三块。这一块要说的不是特别多，因为基本上一个课程就是一个独立的领域了，所教授的工具也不一样，用途也各有差别，很难说提供一个统一的框架和视角来给一个相对普适的建议。

当然这里事实上我们对于纯数的课程也没有摆出太多，这也是因为纯数相比较对应的应数，统计课来说，对于本科生的难度都相对来说太大（比方说微分流形和代数拓扑，一年选课的人数都是个位数）。当然这也很正常，毕竟论抽象程度来说，纯数是超过应数和统计的。

总结

最后，简单的来总结一下这里我们写的内容：

1. 纯数学是为了发现“上帝的秘密”，应用数学是为了发现“上帝的工具”，统计学是为了发现“现实的秘密与工具”。
2. 论抽象程度来说，纯数学 > 应用数学 > 统计学。
3. 论应用泛化性来说，纯数学 < 应用数学 < 统计学。
4. 推荐学习的路线中，其实大部分内容也是大学数学系的培养计划。但是如果有自学打算或者希望加快速度，也可以根据每一门课的内容和目的，合理安排自己的学习路线。

好的，我又成功的水了一篇这样的文章。希望可以很好的解决开头提出的两个问题。下一篇文章，我们不再会局限于一些具体的问题，而更多的希望以轻松愉快的聊天的方式，探讨一下，学数学具体有哪些方法论，以及数学系出身的同学，在其他领域会有什么优势，又有什么劣势。